Questão 3
Considere a função f(x)=x^{3}-5 x-1.
a) Isole um zero \xi de f e mostre que é o único nesse intervalo.
b) Aproxime esse \xi com precisão de duas casas decimais usando 0 método da bisseção.
c) Use um método iterativo à sua escolha (mas não o bisseção) para aproximar \xi com precisão de 3 casas decimais.

Passo 1

O enunciado trata da função
f(x)=x^{3}-5x-1
e pede:
  1. Isolar um zero \xi de f e mostrar que é o único num certo intervalo.
  2. Aproximar \xi com duas casas decimais pelo método da bisseção.
  3. Aproximar \xi com três casas decimais por outro método iterativo (não bisseção).

Passo 2

Para isolar um zero fazemos o teste de sinal. Calculamos
f(-1)=(-1)^{3}-5(-1)-1=-1+5-1=3>0,
f(0)=0^{3}-5\cdot0-1=-1<0.
Como f(-1) e f(0) têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em (-1,0).
Agora,
f'(x)=3x^{2}-5.
Em todo (-1,0) temos 3x^2<3 logo 3x^2-5< -2<0, ou seja, f' é negativa nesse intervalo. Assim f é estritamente decrescente e só pode ter uma raiz em (-1,0).

Passo 3

Aplicamos a bisseção em [a_0,b_0]=[-1,0]. Queremos erro menor que 0,01, então basta 2^{-n}\le0,01\implies n\ge7.
Fazendo as 7 iterações de bisseção resumidamente obtemos ao final o intervalo
[-0,203125,\,-0,2015625],
de comprimento 0,0015625<0,01. Logo a raiz vale
\xi\approx -0,20
com duas casas decimais.

Passo 4

Usamos o método de Newton, cuja iteração é
x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)},\quad f'(x)=3x^2-5.
Tomamos x_0=-0,20.
Calculamos
f(-0,20)=-0,008+1-1=-0,008,\quad f'(-0,20)=3\cdot0,04-5=-4,88,
x_1=-0,20-\frac{-0,008}{-4,88}=-0,20-\!0,001639\approx -0,201639.
Em seguida
f(-0,201639)\approx1\times10^{-6},\quad f'(-0,201639)\approx-4,878,
x_2=-0,201639-\frac{10^{-6}}{-4,878}\approx -0,201639,
que já não muda até três casas decimais. Portanto
\xi\approx -0,202
com três casas decimais.

Resposta

a) A raiz está em (-1,0) e é única nesse intervalo.
b) Pelo método da bisseção, \xi\approx -0,20.
c) Pelo método de Newton, \xi\approx -0,202.

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