Questão 3
Considere a função
.
a) Isole um zero
de
e mostre que é o único nesse intervalo.
b) Aproxime esse
com precisão de duas casas decimais usando 0 método da bisseção.
c) Use um método iterativo à sua escolha (mas não o bisseção) para aproximar
com precisão de 3 casas decimais.
a) Isole um zero
b) Aproxime esse
c) Use um método iterativo à sua escolha (mas não o bisseção) para aproximar
Passo 1
O enunciado trata da função
e pede:
- Isolar um zero
de e mostrar que é o único num certo intervalo. - Aproximar
com duas casas decimais pelo método da bisseção. - Aproximar
com três casas decimais por outro método iterativo (não bisseção).
Passo 2
Para isolar um zero fazemos o teste de sinal. Calculamos
Como
e
têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em
.
Agora,
Agora,
Em todo
temos
logo
, ou seja,
é negativa nesse intervalo. Assim
é estritamente decrescente e só pode ter uma raiz em
.
Passo 3
Aplicamos a bisseção em
. Queremos erro menor que
, então basta
.
Fazendo as 7 iterações de bisseção resumidamente obtemos ao final o intervalo
Fazendo as 7 iterações de bisseção resumidamente obtemos ao final o intervalo
de comprimento
. Logo a raiz vale
com duas casas decimais.
Passo 4
Usamos o método de Newton, cuja iteração é
Tomamos
.
Calculamos
Calculamos
Em seguida
que já não muda até três casas decimais. Portanto
com três casas decimais.
Resposta
a) A raiz está em
e é única nesse intervalo.
b) Pelo método da bisseção, .
c) Pelo método de Newton, .
b) Pelo método da bisseção,
c) Pelo método de Newton,