Calcule I=\int_{0}^{1} \frac{\operatorname{sen}(x)}{1+x} d x pelo método dos trapézios repetidos com n=4.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
I = \int_{0}^{1} \frac{\sin(x)}{1+x}\,dx
usando a regra composta dos trapézios com n=4. O conteúdo usado será o método dos trapézios repetidos, que exige: dividir o intervalo em n subintervalos, calcular o passo h, avaliar a função nos nós e aplicar a fórmula composta.

Passo 2

O passo de integração é
h = \frac{1 - 0}{4} = 0,25.
Os nós são
x_i = 0 + i\,h,\quad i=0,1,2,3,4,
isto é
x_0=0,\quad x_1=0,25,\quad x_2=0,5,\quad x_3=0,75,\quad x_4=1.

Passo 3

Definimos
f(x) = \frac{\sin(x)}{1+x}
e calculamos suas imagens nos nós: \;f(x_0)=\frac{\sin(0)}{1+0}=0, \;f(x_1)=\frac{\sin(0,25)}{1,25}\approx0,19792, \;f(x_2)=\frac{\sin(0,5)}{1,5}\approx0,31962, \;f(x_3)=\frac{\sin(0,75)}{1,75}\approx0,38951, \;f(x_4)=\frac{\sin(1)}{2}\approx0,42074.

Passo 4

A regra composta dos trapézios diz
I \approx h\Bigl(\frac{f(x_0)+f(x_4)}{2}+\sum_{i=1}^{3}f(x_i)\Bigr).

Passo 5

Substituindo os valores:
I \approx 0,25\Bigl(\frac{0 + 0,42074}{2} + 0,19792 + 0,31962 + 0,38951\Bigr) = 0,25 \times 1,11742 \approx 0,27935.

Resposta

A aproximação pelo método dos trapézios com n=4 é
I \approx 0,27935.

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