Um retificador de meia onda a diodo alimenta uma carga indutiva resistiva ( f= 1 \mathrm{kHz}, \mathrm{L}=100 \mathrm{mH} e \mathrm{R}=1 \mathrm{k} \Omega ). Encontre o ângulo \beta para o qual a corrente no diodo se anula. Considere o seguinte modelo matemático:
I_{d}=\sin (\beta-\Phi)+\sin (\Phi) e^{\left(-\frac{\beta}{\tan (\Phi)}\right)}
Sendo
\tan (\Phi)=2 \pi f . L / R

Passo 1

O enunciado descreve um retificador de meia onda com carga R–L em que queremos achar o ângulo \beta onde a corrente do diodo zera. Temos
– frequência f=1\,\mathrm{kHz}
– indutância L=100\,\mathrm{mH}
– resistência R=1\,\mathrm{k\Omega}
O modelo matemático dado é
I_{d}=\sin(\beta-\Phi)+\sin(\Phi)\,e^{-\beta/\tan(\Phi)}
e a condição de corte do diodo é I_{d}=0. Ainda temos
\tan(\Phi)=\frac{2\pi f\,L}{R}.

Passo 2

Calcular primeiro \tan(\Phi) e o ângulo \Phi:
\tan(\Phi) =\frac{2\pi\,(1\times10^{3})\,(100\times10^{-3})}{1\times10^{3}} =\frac{2\pi\cdot100}{1000} =0{,}6283
\Phi=\arctan(0{,}6283)\approx0{,}561\;\text{rad}\quad(\approx32,1^\circ).

Passo 3

Escrever a equação de corte I_{d}=0:
\sin(\beta-\Phi)+\sin(\Phi)\,e^{-\beta/\tan(\Phi)}=0.
Definimos
f(\beta)=\sin(\beta-\Phi)+\sin(\Phi)\,e^{-\beta/\tan(\Phi)}
e buscamos \beta tal que f(\beta)=0.

Passo 4

Aplicar método numérico (por exemplo, bissecção) no intervalo [\pi,4] rad:
– em \beta=\pi,
f(\pi)=\sin(\pi-\Phi)+\sin(\Phi)\,e^{-\pi/\tan(\Phi)}>0
– em \beta=4,
f(4)=\sin(4-\Phi)+\sin(\Phi)\,e^{-4/\tan(\Phi)}<0.
Como há mudança de sinal, refina-se por bissecção até a precisão desejada.

Passo 5

Realizando o refinamento numérico encontram-se
\beta\approx3{,}70\;\text{rad}\approx212{,}3^\circ.

Resposta

\beta\approx3{,}70\;\text{rad} (cerca de 212^\circ)

Exercícios relacionados