Questão 2: Considere a função
.
(a) Mostre que
possui apenas uma raiz no intervalo
.
(b) A função
pode ser usada para gerar uma sequência de aproximações pelo método do Ponto Fixo? Justifique.
© Realize duas iterações do método de ponto Fixo, com
definida no item (b), quatro algarismos significativos e
. Avalie
cada iteração.
(a) Mostre que
(b) A função
© Realize duas iterações do método de ponto Fixo, com
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos a função
e pede três coisas:
1) Mostrar que
2) Ver se dá pra usar a iteração de Ponto Fixo com
no mesmo intervalo;
3) Fazer duas iterações de com
, arredondar a 4 algarismos significativos e calcular
em cada aproximação.
O conteúdo aqui envolve o Teorema do Valor Intermediário, análise de derivadas (para monotonicidade e critério de contração) e, claro, o método do Ponto Fixo.
3) Fazer duas iterações de
O conteúdo aqui envolve o Teorema do Valor Intermediário, análise de derivadas (para monotonicidade e critério de contração) e, claro, o método do Ponto Fixo.
Passo 2
Parte (a): mostrar única raiz em
.
1º usamos o Teorema do Valor Intermediário (TVI):
1º usamos o Teorema do Valor Intermediário (TVI):
Como
2º para garantir que é só uma, vemos que
Em
temos
, logo
em todo o intervalo. Como
Passo 3
Parte (b): critério de Ponto Fixo para
.
- Derivada de
:
Em
Isso mostra que
é uma contração ali, garantindo convergência local.
2) Precisamos também checar se :
2) Precisamos também checar se
ambos estão dentro de
Portanto, sim: dá pra usar o método do Ponto Fixo com essa
Passo 4
Parte ©, 1ª iteração:
Começando de ,
Começando de
Como
arredondando a 4 algarismos significativos:
Agora avaliamos
Passo 5
Parte ©, 2ª iteração:
Como
arredondando a 4 algarismos significativos:
E
Resposta
a)
tem exatamente uma raiz em
.
b) Sim, satisfaz
em
e mapeia o intervalo nele mesmo.
c) Com , obtemos
b) Sim,
c) Com
-
, -
, .