Questão 2: Considere a função f(x)=e^x-4 x.
(a) Mostre que f(x) possui apenas uma raiz no intervalo [0.2,0.5].
(b) A função phi(x)=e^x / 4 pode ser usada para gerar uma sequência de aproximações pelo método do Ponto Fixo? Justifique.
© Realize duas iterações do método de ponto Fixo, com phi(x) definida no item (b), quatro algarismos significativos e x0=0.3. Avalie f(x) em cada iteração.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos a função
f(x)=e^x-4x
e pede três coisas:
1) Mostrar que f(x) tem só uma raiz em [0.2,0.5];
2) Ver se dá pra usar a iteração de Ponto Fixo com
phi(x)=e^x4
no mesmo intervalo;
3) Fazer duas iterações de xn+1=phi(xn) com x0=0.3, arredondar a 4 algarismos significativos e calcular f(x) em cada aproximação.
O conteúdo aqui envolve o Teorema do Valor Intermediário, análise de derivadas (para monotonicidade e critério de contração) e, claro, o método do Ponto Fixo.

Passo 2

Parte (a): mostrar única raiz em [0.2,0.5].
1º usamos o Teorema do Valor Intermediário (TVI):
f(0.2)=e^0.2-4cdot0.2approx1.2214-0.8=0.4214>0,
f(0.5)=e^0.5-4cdot0.5approx1.6487-2=-0.3513<0
Como f(0.2) e f(0.5) têm sinais diferentes e f é contínua, existe pelo menos uma raiz em (0.2,0.5).
2º para garantir que é só uma, vemos que
f'(x)=e^x-4
Em [0.2,0.5] temos 1.2214<= e^x<=1.6487, logo
f'(x)=e^x-4<0
em todo o intervalo. Como f'(x)<0, f é estritamente decrescente ali, então só pode ter uma única raiz.

Passo 3

Parte (b): critério de Ponto Fixo para phi(x)=e^x4.
  1. Derivada de phi:
phi'(x)=e^x4
Em [0.2,0.5], e^x/4 varia de 1.2214/4approx0.3053 até 1.6487/4approx0.4122, ou seja
|phi'(x)|<=0.4122<1
Isso mostra que phi é uma contração ali, garantindo convergência local.
2) Precisamos também checar se phi([0.2,0.5])subset[0.2,0.5]:
phi(0.2)approx0.3053, phi(0.5)approx0.4122,
ambos estão dentro de [0.2,0.5].
Portanto, sim: dá pra usar o método do Ponto Fixo com essa phi naquele intervalo.

Passo 4

Parte ©, 1ª iteração:
Começando de x0=0.3,
x1=phi(x0)=e^0.34
Como e^0.3approx1.34986,
x1approx1.349864=0.337465,
arredondando a 4 algarismos significativos:
boxedx1=0.3375
Agora avaliamos f(x1):
f(0.3375)=e^0.3375-4cdot0.3375approx1.4014-1.35=0.0514

Passo 5

Parte ©, 2ª iteração:
x2=phi(x1)=e^0.33754
Como e^0.3375approx1.40136,
x2approx1.401364=0.35034,
arredondando a 4 algarismos significativos:
boxedx2=0.3503
E
f(0.3503)=e^0.3503-4cdot0.3503approx1.4195-1.4012=0.0183

Resposta

a) f tem exatamente uma raiz em [0.2,0.5].
b) Sim, phi(x)=e^x/4 satisfaz |phi'(x)|<1 em [0.2,0.5] e mapeia o intervalo nele mesmo.
c) Com x0=0.3, obtemos
  • x1=0.3375, f(x1)approx0.0514
  • x2=0.3503, f(x2)approx0.0183.

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