Questão 5: Sejam p in N e a >= 0. Queremos aproximar raiz[p]a.
(a) Apresente uma função que tenha raiz[p]a como raiz.
(b) Utilize o método de Newton para mostrar que a sequência
xn+1=1p((p-1) xn+axn^p-1), para n >= 0
© Determine uma aproximação para raiz2, calculando x1 e x2 com 4 algarismos significativos e x0=2.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é aproximar raiz[p]a com o método de Newton. A matéria é Métodos Numéricos (Newton-Raphson). Para isso vamos precisar de:
  1. escolher uma função f(x) que zere em x = raiz[p]a,
  2. saber a derivada f'(x),
  3. aplicar a fórmula de iteração de Newton
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn),

Passo 2

(a) Queremos f(raiz[p]a) = 0. A função mais óbvia é
f(x) = x^p - a,,
pois se x = a^1/p então x^p - a = a - a = 0.

Passo 3

(b) Agora derivamos f:
f'(x) = p,x^p-1,
Substituindo em Newton:
$$x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^p - a}{p,x_n^{p-1}}
= x_n - \frac{1}{p}\bigl(x_n - \tfrac{a}{x_n^{p-1}}\bigr)
= \frac{1}{p}\Bigl((p-1)x_n + \frac{a}{x_n^{p-1}}\Bigr),. $$

Passo 4

© Para raiz2 temos p=2, a=2 e
xn+1 = 12l(xn + 2xnr),, x0=2
Vamos calcular com 4 algarismos significativos:
- x1 = tfrac12l(2 + tfrac22r) = tfrac12(2 + 1) = 1,5;to;1,500,.
- x2 = tfrac12l(1,5 + tfrac21,5r) = tfrac12(1,5 + 1,333ldots) = 1,41666ldots;to;1,417,.

Resposta

(a) f(x)=x^p - a.
(b) Pela fórmula de Newton xn+1=1pl((p-1)xn + axn^p-1r).
© Com x0=2 e quatro algarismos significativos:
x1 = 1,500, x2 = 1,417,

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