Questão 5: Sejam
e
. Queremos aproximar
.
(a) Apresente uma função que tenha
como raiz.
(b) Utilize o método de Newton para mostrar que a sequência
© Determine uma aproximação para
, calculando
e
com 4 algarismos significativos e
.
(a) Apresente uma função que tenha
(b) Utilize o método de Newton para mostrar que a sequência
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é aproximar
com o método de Newton. A matéria é Métodos Numéricos (Newton-Raphson). Para isso vamos precisar de:
- escolher uma função
que zere em , - saber a derivada
, - aplicar a fórmula de iteração de Newton
Passo 2
(a) Queremos
. A função mais óbvia é
pois se
Passo 3
(b) Agora derivamos
:
Substituindo em Newton:
$$x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^p - a}{p,x_n^{p-1}}
= x_n - \frac{1}{p}\bigl(x_n - \tfrac{a}{x_n^{p-1}}\bigr)
= \frac{1}{p}\Bigl((p-1)x_n + \frac{a}{x_n^{p-1}}\Bigr),. $$
Passo 4
© Para
temos
,
e
Vamos calcular com 4 algarismos significativos:
-
-
Resposta
(a)
.
(b) Pela fórmula de Newton .
© Com e quatro algarismos significativos:
(b) Pela fórmula de Newton
© Com