Questão 4: Considere a matriz:
A=(llll 4 & 2 & 0 & 0 2 & 5 & 1 & 0 0 & 3 & 3 & 2 0 & 0 & 1 & 2 )
(a) Determine a fatoração LU da matriz A utilizando quatro algarismos significativos.
(b) Resolva o sistema linear A x=b, com b=(2,-3,-1,2).

Passo 1

Beleza, a questão é assim: a gente tem uma matriz
A= 4 & 2 & 0 & 0 2 & 5 & 1 & 0 0 & 3 & 3 & 2 0 & 0 & 1 & 2
e precisa de duas coisas:
a) Fazer a fatoração , usando quatro algarismos significativos.
b) Resolver o sistema com .
O assunto é Álgebra Linear: vamos usar eliminação de Gauss sem pivotamento para encontrar (matriz triangular inferior com 1’s na diagonal) e (triangular superior). Depois, usamos substituição progressiva (“forward”) em e regressiva (“backward”) em .

Passo 2

Fatoração LU (eliminação de Gauss):
  1. Pivot em R2 R2 - 0,5000,R1 ;Longrightarrow; (2,5,1,0) - 0,5,(4,2,0,0) = (0,4,1,0) .
    • Multiplicador R3 R3 - 0,7500,R2 ;Longrightarrow; (0,3,3,2) - 0,75,(0,4,1,0) = (0,0,2,25,2) .
    • Atualiza linha 2: R4 R4 - 0,4444,R3 ;Longrightarrow; (0,0,1,2) - 0,4444,(0,0,2,25,2) = (0,0,0,1,1112)
  2. Próximo pivot em U = 4 & 2 & 0 & 0 0 & 4 & 1 & 0 0 & 0 & 2,25 & 2 0 & 0 & 0 & 1,1112 , .
    • Para a linha 3, L = 1 & 0 & 0 & 0 0,5000 & 1 & 0 & 0 0 & 0,7500 & 1 & 0 0 & 0 & 0,4444 & 1 .
    • Atualiza linha 3:
  3. Pivot em .
    • Para a linha 4, .
    • Atualiza linha 4:
Pronto, o ficou
e o (com 1’s na diagonal e os multiplicadores abaixo) é

Passo 3

Substituição progressiva em 1 & & & 0.5 & 1 & & 0 & 0.75 & 1 & 0 & 0 & 0.4444 & 1 y1y2y3y4 = 2-3-12 :
[

.
]
Resolve linha a linha:

Passo 4

Substituição regressiva em 4 & 2 & 0 & 0 0 & 4 & 1 & 0 0 & 0 & 2.25 & 2 0 & 0 & 0 & 1.1112 x1x2x3x4 = 2-421.1112 :
[

.
]
De baixo pra cima:
4)
3)
2)

Resposta

a)
L = 1 & 0 & 0 & 0 0.5000 & 1 & 0 & 0 0 & 0.7500 & 1 & 0 0 & 0 & 0.4444 & 1 , U = 4 & 2 & 0 & 0 0 & 4 & 1 & 0 0 & 0 & 2.25 & 2 0 & 0 & 0 & 1.1112
b)
x = 1-101

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