Questão 4: Considere a matriz:
(a) Determine a fatoração LU da matriz
A utilizando quatro algarismos significativos.
(b) Resolva o sistema linear
A x=b , com
b=(2,-3,-1,2) .
(b) Resolva o sistema linear
Passo 1
Beleza, a questão é assim: a gente tem uma matriz
e precisa de duas coisas:
a) Fazer a fatoração , usando quatro algarismos significativos.
b) Resolver o sistema com
.
a) Fazer a fatoração
b) Resolver o sistema
O assunto é Álgebra Linear: vamos usar eliminação de Gauss sem pivotamento para encontrar
(matriz triangular inferior com 1’s na diagonal) e
(triangular superior). Depois, usamos substituição progressiva (“forward”) em
e regressiva (“backward”) em
.
Passo 2
Fatoração LU (eliminação de Gauss):
- Pivot em
.R2 R2 - 0,5000,R1 ;Longrightarrow; (2,5,1,0) - 0,5,(4,2,0,0) = (0,4,1,0) - Multiplicador
.R3 R3 - 0,7500,R2 ;Longrightarrow; (0,3,3,2) - 0,75,(0,4,1,0) = (0,0,2,25,2) - Atualiza linha 2:
R4 R4 - 0,4444,R3 ;Longrightarrow; (0,0,1,2) - 0,4444,(0,0,2,25,2) = (0,0,0,1,1112)
- Multiplicador
- Próximo pivot em
.U = 4 & 2 & 0 & 0 0 & 4 & 1 & 0 0 & 0 & 2,25 & 2 0 & 0 & 0 & 1,1112 , - Para a linha 3,
.L = 1 & 0 & 0 & 0 0,5000 & 1 & 0 & 0 0 & 0,7500 & 1 & 0 0 & 0 & 0,4444 & 1 - Atualiza linha 3:
- Para a linha 3,
- Pivot em
.- Para a linha 4,
. - Atualiza linha 4:
- Para a linha 4,
Pronto, o
ficou
e o
(com 1’s na diagonal e os multiplicadores abaixo) é
Passo 3
Substituição progressiva em
1 & & & 0.5 & 1 & & 0 & 0.75 & 1 & 0 & 0 & 0.4444 & 1 y1y2y3y4 = 2-3-12 :
[
]
Resolve linha a linha:
Passo 4
Substituição regressiva em
4 & 2 & 0 & 0 0 & 4 & 1 & 0 0 & 0 & 2.25 & 2 0 & 0 & 0 & 1.1112 x1x2x3x4 = 2-421.1112 :
[
]
De baixo pra cima:
4)
3)
2)
4)
3)
2)
Resposta
a)
b)