Questão 7. Considere as integrais definidas abaixo
l I1=integral0^1 / 5 raiz[5]1+x^2 d x I2=integral0^1 / 2 raiz1+x^3 d x
Assinale a alternativa correta.
O número 15+15^4 aproxima o valor de I1 com |erro| inferior a 45^8, e o número 12+12^6 aproxima o valor de I2 com |erro| inferior a 17 cdot 2^9.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta duas integrais definidas:
l I1=integral0^1 / 5 raiz[5]1+x^2 , dx I2=integral0^1 / 2 raiz1+x^3 , dx
Além disso, são dadas aproximações para essas integrais com certos limites de erro. Nosso objetivo é verificar se essas aproximações estão corretas, ou seja, se os valores aproximados estão realmente próximos das integrais dadas com os erros especificados. Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de aproximação de funções e como estimar o erro dessa aproximação.

Passo 2

Vamos começar com a primeira integral, $ I_{1} = \int_{0}^{1/5} \sqrt[5]{1 + x^{2}} , dx $.
A aproximação proposta é:
I1 = integral0^1/5 raiz[5]1 + x^2 , dx
Primeiro, vamos entender essa aproximação. Parece que estamos usando uma expansão binomial ou uma aproximação em série para a função $ \sqrt[5]{1 + x^{2}} $. Para pequenas variações de $ x $, podemos expandir $ (1 + x{2}){1/5} $ usando a série de Taylor:
15 + 15^4
Integrando termo a termo de 0 a $ 1/5 $:
raiz[5]1 + x^2
Calculando isso:
x
Agora, a aproximação dada é $ \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{4}} = \frac{1}{5} + \frac{1}{625} \approx 0,200 + 0,0016 = 0,2016 $.
Comparando os valores, vemos que a aproximação está um pouco acima do valor calculado, mas o erro está dentro do limite proposto de $ \frac{4}{5^{8}} $. Calculando:
(1 + x^2)^1/5
Como a diferença entre a aproximação e o valor real é de aproximadamente $ 0,0016 - 0,000533 = 0,001067 $, que é maior que $ 0,00001024 $, a aproximação não atende ao limite de erro proposto.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda integral, $ I_{2} = \int_{0}^{1/2} \sqrt{1 + x^{3}} , dx $.
A aproximação proposta é:
I2 = integral0^1/2 raiz1 + x^3 , dx
Vamos aplicar uma abordagem similar. Expandimos $ \sqrt{1 + x^{3}} $ usando a série de Taylor para pequenas $ x $:
12 + 12^6
Integrando termo a termo de 0 a $ 1/2 $:
raiz1 + x^3
Calculando isso:
x
A aproximação dada é $ \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{6}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{64} \approx 0,5 + 0,015625 = 0,515625 $.
A diferença entre a aproximação e o valor calculado é de aproximadamente $ 0,015625 - 0,0078125 = 0,0078125 $, que deve ser menor que o limite de erro proposto de $ \frac{1}{7 \cdot 2^{9}} $.
Calculando:
raiz1 + x^3 approx 1 + 12x^3 - 18x^6 + dots
Como $ 0,0078125 $ é maior que $ 0,000279 $, a aproximação também não atende ao limite de erro proposto.

Resposta

As aproximações propostas para $ I_{1} $ e $ I_{2} $ não satisfazem os limites de erro estabelecidos. Portanto, a alternativa apresentada está incorreta.

Exercícios relacionados