Questão 7. Considere as integrais definidas abaixo
Assinale a alternativa correta.
O número não aproxima o valor de com |erro| inferior a , assim como o número também não aproxima o valor de com |erro| inferior a .
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente verificar duas aproximações de integrais usando série de Taylor (ou binomial) e ver se o erro fica abaixo de certos limites dados.
Conteúdo:
Expansão em série de Taylor (ou binomial) de funções do tipo .
Integração termo a termo dessa expansão até certa ordem para obter uma aproximação.
Cálculo de estimativas do resto (erro) usando a forma de Lagrange da série ou estimativa do próximo termo.
Vamos calcular cada integral, ver qual polinômio dá a aproximação indicada e comparar o erro com o limite pedido.
Passo 2
Integral .
Série até a 1ª ordem não nula (isso é, até ):
Integramos termo a termo de a :
Logo, a aproximação natural seria
Mas o enunciado testa o número
que é diferente (e maior) que .
Para ver o erro, usamos o resto de Taylor em forma de Lagrange:
onde . Calcula-se que .
Então
e
O limite pedido era , mas
Portanto o erro ao integrar a aproximação até já é maior que . Como o do enunciado é ainda pior, realmente não aproxima com erro menor que . A primeira afirmação é verdadeira.
Passo 3
Integral (1+x^3)^1/2 = 1 + 12,x^3 + R2(x) .
Série até a 1ª ordem não nula (até integral0^1/21,dx = 12, integral0^1/212,x^3,dx = 12cdot(1/2)^44 = 1128 = 12^7 ):
I2approx 12 + 12^7,
Integrando de l|integral0^1/2R2(x),dxr| <= (1/2)^756 = 17168 < 17cdot2^9 = 13584 a :
Então a aproximação é
justamente o número do enunciado.
Erro: de novo resto de Taylor em Lagrange, agora em ordem . Pode-se mostrar que é limitado e, seguindo a conta,
Ou seja, o erro real é menor que o limite pedido . Portanto a afirmação “ não aproxima com erro inferior a ” é falsa.
Resposta
A afirmação sobre é verdadeira e a que trata é falsa.