Questão 7. Considere as integrais definidas abaixo
l I1=integral0^1 / 5 raiz[5]1+x^2 d x I2=integral0^1 / 2 raiz1+x^3 d x
Assinale a alternativa correta.
O número 15+13 cdot 5^3 não aproxima o valor de I1 com |erro| inferior a 45^8, assim como o número 12+12^7 também não aproxima o valor de I2 com |erro| inferior a 17 cdot 2^9.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente verificar duas aproximações de integrais usando série de Taylor (ou binomial) e ver se o erro fica abaixo de certos limites dados.
Conteúdo:
  • Expansão em série de Taylor (ou binomial) de funções do tipo .
  • Integração termo a termo dessa expansão até certa ordem para obter uma aproximação.
  • Cálculo de estimativas do resto (erro) usando a forma de Lagrange da série ou estimativa do próximo termo.
Vamos calcular cada integral, ver qual polinômio dá a aproximação indicada e comparar o erro com o limite pedido.

Passo 2

Integral (1+x^2)^1/5 = 1 + 15x^2 + R1(x) .
  1. Série até a 1ª ordem não nula (isso é, até integral0^1/51,dx = 15, integral0^1/515x^2,dx = 15,(1/5)^33 = 11875 ):
I1approx 15 + 11875
  1. Integramos termo a termo de A1 = 15 + 13cdot5^3 = 15 + 1375, a R1(x) = f''(xi)2,x^4, xiin[0,x], :
|R1(x)| <= 12!cdot!25,x^4 = x^45,
Logo, a aproximação natural seria
l|integral0^1/5R1(x),dxr| <= integral0^1/5x^45,dx = 15,(1/5)^55 = 178125
Mas o enunciado testa o número
178125approx0,0000128 > 4390625
que é diferente (e maior) que .
  1. Para ver o erro, usamos o resto de Taylor em forma de Lagrange:
onde . Calcula-se que .
Então
e
O limite pedido era , mas
Portanto o erro ao integrar a aproximação até já é maior que . Como o do enunciado é ainda pior, realmente não aproxima com erro menor que . A primeira afirmação é verdadeira.

Passo 3

Integral (1+x^3)^1/2 = 1 + 12,x^3 + R2(x) .
  1. Série até a 1ª ordem não nula (até integral0^1/21,dx = 12, integral0^1/212,x^3,dx = 12cdot(1/2)^44 = 1128 = 12^7 ):
I2approx 12 + 12^7,
  1. Integrando de l|integral0^1/2R2(x),dxr| <= (1/2)^756 = 17168 < 17cdot2^9 = 13584 a :
Então a aproximação é
justamente o número do enunciado.
  1. Erro: de novo resto de Taylor em Lagrange, agora em ordem . Pode-se mostrar que
    é limitado e, seguindo a conta,
Ou seja, o erro real é menor que o limite pedido . Portanto a afirmação “ não aproxima com erro inferior a ” é falsa.

Resposta

A afirmação sobre é verdadeira e a que trata é falsa.

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