Questão 2: O problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=-y \\\ y(0)=1 \end{array}\right.
tem como única solução exata y(x)=e^{-x}.
a) Verifique que y(x) é de fato solução.
b) Encontre uma solução aproximada no intervalo x \in[0,1] usando o Método de Euler com n=4 subintervalos.
c) Encontre uma solução aproximada no intervalo x \in[0,1] usando o Método de Taylor de ordem com n=4 subintervalos.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\begin{cases} y' = -y,\\\ y(0)=1, \end{cases}
cuja solução exata é y(x)=e^{-x}. Vamos verificar essa solução (item a), depois obter aproximações no intervalo [0,1] com n=4 (h =0,25) pelos métodos de Euler (item b) e de Taylor de segunda ordem (item c).

Passo 2

Para verificar que y(x)=e^{-x} resolve o IVP, calculemos
y'(x) = \frac{d}{dx}e^{-x} = -e^{-x} = -y(x),
logo satisfaz y'=-y. Além disso y(0)=e^{0}=1, como exigido.

Passo 3

Método de Euler: h=\frac{1-0}{4}=0,25. A fórmula é
y_{i+1} = y_i + h\,f(x_i,y_i) = y_i + h(-y_i) = y_i\,(1 - h).
Como 1-h=0,75, temos
\begin{aligned} y_0 &= 1,\\\ y_1 &= 1\cdot0,75 = 0,75,\\\ y_2 &= 0,75\cdot0,75 = 0,5625,\\\ y_3 &= 0,5625\cdot0,75 = 0,421875,\\\ y_4 &= 0,421875\cdot0,75 = 0,31640625. \end{aligned}

Passo 4

Método de Taylor de segunda ordem: usamos
y_{i+1} = y_i + h\,y_i' + \frac{h^2}{2}\,y_i'',
com y_i'=-y_i e y_i''=y_i. Então
y_{i+1} = y_i + h(-y_i) + \frac{h^2}{2}(y_i) = y_i\Bigl(1 - h + \frac{h^2}{2}\Bigr).
Para h=0,25 vale 1 - h + h^2/2 = 0,78125. Assim
\begin{aligned} y_0 &= 1,\\\ y_1 &= 1\cdot0,78125 = 0,78125,\\\ y_2 &= 0,78125^2 \approx 0,61035156,\\\ y_3 &= 0,61035156\cdot0,78125 \approx 0,47683716,\\\ y_4 &= 0,47683716\cdot0,78125 \approx 0,37252903. \end{aligned}

Resposta

a) Verificamos que y(x)=e^{-x} satisfaz y'=-y e y(0)=1.
b) Euler ( h=0,25):
(x_i,y_i) = (0,1),
(0,25,0,75),
(0,5,0,5625),
(0,75,0,421875),
(1,0,31640625).
c) Taylor 2ª ordem ( h=0,25):
(x_i,y_i) = (0,1),
(0,25,0,78125),
(0,5,0,61035156),
(0,75,0,47683716),
(1,0,37252903).

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