Questão 2: O problema de valor inicial
tem como única solução exata
.
a) Verifique que
é de fato solução.
b) Encontre uma solução aproximada no intervalo
usando o Método de Euler com
subintervalos.
c) Encontre uma solução aproximada no intervalo
usando o Método de Taylor de ordem com
subintervalos.
a) Verifique que
b) Encontre uma solução aproximada no intervalo
c) Encontre uma solução aproximada no intervalo
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
cuja solução exata é
. Vamos verificar essa solução (item a), depois obter aproximações no intervalo
com
(h
) pelos métodos de Euler (item b) e de Taylor de segunda ordem (item c).
Passo 2
Para verificar que
resolve o IVP, calculemos
logo satisfaz
. Além disso
, como exigido.
Passo 3
Método de Euler:
. A fórmula é
Como
, temos
Passo 4
Método de Taylor de segunda ordem: usamos
com
e
. Então
Para
vale
. Assim
Resposta
a) Verificamos que
satisfaz
e
.
b) Euler ( ):
,
,
,
,
.
c) Taylor ª ordem (
):
,
,
,
,
.
b) Euler (
c) Taylor