a) Calcule aproximações para usando o método de Euler com e ;
b) Repita o item (a), usando agora o método de Euler Aperfeiçoado.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos o PVI
Queremos aproximar f(x,y)=y^2-1x^2+1 usando
a) o método de Euler explícito com passos e ;
b) o método de Euler Aperfeiçoado (Euler–Cauchy) com os mesmos .
Conteúdo: método de Euler e método de Euler Aperfeiçoado. Precisamos da função
e das fórmulas de iteração de ambos os métodos.
Passo 2
Euler explícito com yn+1=yn + h,f(xn,yn):
Fórmula geral
f(xn,yn)=1^2-1xn^2+1=0Rightarrow yn+1=1+0=1
Aqui y(1)approx y5=1.
Como , em cada passo teremos
Como são passos, sempre fica . Logo
Passo 3
Euler explícito com f(xn,1)=0Rightarrow yn+1=1:
Agora y(1)approx y4=1 passos. De novo, como começa em 1,
em todos os . Logo
Passo 4
Euler Aperfeiçoado com yn+1=yn+h2l[f(xn,yn)+f(xn+1,y^*)r]:
Passo preditor–corretor:
Preditor y(1)approx1.
Corretor
Como sempre , temos e então e .
Assim em cada etapa, e com 5 passos até dá
Passo 5
Euler Aperfeiçoado com :
Idêntico ao caso anterior, mas agora são 4 passos. De novo em todos os pontos,
então .