Questão 3: Considere o PVI
l y^prime=y^2-1x^2+1 y(0)=1
a) Calcule aproximações para y(1) usando o método de Euler com h=0,2 e h=0,25;
b) Repita o item (a), usando agora o método de Euler Aperfeiçoado.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o PVI
y'=y^2-1x^2+1, y(0)=1
Queremos aproximar f(x,y)=y^2-1x^2+1 usando
a) o método de Euler explícito com passos e ;
b) o método de Euler Aperfeiçoado (Euler–Cauchy) com os mesmos .
Conteúdo: método de Euler e método de Euler Aperfeiçoado. Precisamos da função

e das fórmulas de iteração de ambos os métodos.

Passo 2

Euler explícito com yn+1=yn + h,f(xn,yn):
Fórmula geral
f(xn,yn)=1^2-1xn^2+1=0Rightarrow yn+1=1+0=1
Aqui y(1)approx y5=1.
Como , em cada passo teremos
Como são passos, sempre fica . Logo

Passo 3

Euler explícito com f(xn,1)=0Rightarrow yn+1=1:
Agora y(1)approx y4=1 passos. De novo, como começa em 1,

em todos os . Logo

Passo 4

Euler Aperfeiçoado com yn+1=yn+h2l[f(xn,yn)+f(xn+1,y^*)r]:
Passo preditor–corretor:
  1. Preditor y(1)approx1.
  2. Corretor

Como sempre , temos e então e .
Assim em cada etapa, e com 5 passos até

Passo 5

Euler Aperfeiçoado com :
Idêntico ao caso anterior, mas agora são 4 passos. De novo em todos os pontos,
então .

Resposta

a) Euler explícito:
  • Para , .
  • Para , .
    b) Euler Aperfeiçoado:
  • Para , .
  • Para , .

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