a) Determine a matriz da função de iteração para o método de Jacobi, T \vec{x}+d, aplicado ao sistema dado pela Eq. (2);
b) Verifique se o método de Jacobi para o sistema (2) é convergente;
c) Escreva as equações para o método de Gauss-Seidel aplicado ao sistema (2);
d) Determine 3 (três) iteradas do método de Gauss-Seidel a partir da condição inicial \vec{x}^{(0)}= (-0.50,0.23,0.07)^{\top} (apresente os resultados com arredondamento de 6 casas decimais).
(a) Determinar a matriz da função de iteração do método de Jacobi na forma T\vec{x}+d aplicada ao sistema acima.
(b) Verificar se o método de Jacobi é convergente para esse sistema.
(c) Escrever as equações de iteração do método de Gauss–Seidel para esse sistema (i.e., as fórmulas que dão x_1^{(k+1)},x_2^{(k+1)},x_3^{(k+1)} em função das componentes apropriadas da iteração anterior).
(d) A partir da condição inicial \vec{x}^{(0)} = (-0{,}50,\,0{,}23,\,0{,}07)^{\top}, realizar 3 iterações do método de Gauss–Seidel e apresentar os resultados com 6 casas decimais.
(a) Método de Jacobi — ideia e derivação da matriz T e do vetor d.
Explicação didática curta: No método de Jacobi escrevemos A=D+R, onde D é a matriz diagonal com os elementos diagonais de A e R=A-D contém os restantes elementos. A iteração de Jacobi é
(b) Convergência do método de Jacobi — critério usado e verificação.
Conceito importante: Jacobi converge para qualquer vetor inicial se a matriz de iteração T tiver raio espectral \rho(T)<1. Uma condição suficiente (fácil de verificar na prova) é que a matriz A seja estritamente diagonalmente dominante por linhas, ou seja, para cada linha i valha
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Se isso ocorrer, Jacobi (e também Gauss–Seidel) convergem.
Verifiquemos linha a linha para a matriz A:
Linha 1: |a_{11}|=|4|=4 e \sum_{j\neq1}|a_{1j}|=|{-1}|+|2|=1+2=3. Portanto 4>3.
Linha 2: |a_{22}|=|10|=10 e \sum_{j\neq2}|a_{2j}|=|2|+|{-4}|=2+4=6. Portanto 10>6.
Linha 3: |a_{33}|=|12|=12 e \sum_{j\neq3}|a_{3j}|=|{-3}|+|3|=3+3=6. Portanto 12>6.
Como cada linha satisfaz a desigualdade estrita, A é estritamente diagonalmente dominante por linhas. Conclusão: o método de Jacobi é convergente para este sistema (a condição é suficiente).
Passo 4
(c) Equações do método de Gauss–Seidel — derivação e explicação.
Explicação didática curta: No Gauss–Seidel atualizamos as componentes de \vec{x} sequencialmente e, ao calcular x_i^{(k+1)}, usamos já as componentes atualizadas x_1^{(k+1)},\dots,x_{i-1}^{(k+1)} e as componentes antigas x_{i+1}^{(k)},\dots. Para obter as fórmulas, isolamos cada x_i na linha correspondente do sistema.
Da primeira equação 4x_1 - x_2 + 2x_3 = -2 isolamos x_1:
(d) Três iteradas do método de Gauss–Seidel a partir de \vec{x}^{(0)}=(-0{,}50,\,0{,}23,\,0{,}07)^{\top}. Vou calcular cuidadosamente cada passo e arredondar os resultados finais de cada iterada para 6 casas decimais.