Questão 2. Considere o seguinte sistema linear
\left\{\begin{array}{rcc} 4 x_{1}-x_{2}+2 x_{3} & = & -2 \\\\ 2 x_{1}+10 x_{2}-4 x_{3} & = & 1 \\\\ -3 x_{1}+3 x_{2}+12 x_{3} & = & 3 \end{array}\right.
a) Determine a matriz da função de iteração para o método de Jacobi, T \vec{x}+d, aplicado ao sistema dado pela Eq. (2);
b) Verifique se o método de Jacobi para o sistema (2) é convergente;
c) Escreva as equações para o método de Gauss-Seidel aplicado ao sistema (2);
d) Determine 3 (três) iteradas do método de Gauss-Seidel a partir da condição inicial \vec{x}^{(0)}= (-0.50,0.23,0.07)^{\top} (apresente os resultados com arredondamento de 6 casas decimais).

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\left\{\begin{array}{rcc} 4 x_{1}-x_{2}+2 x_{3} & = & -2,\\[4pt] 2 x_{1}+10 x_{2}-4 x_{3} & = & 1,\\[4pt] -3 x_{1}+3 x_{2}+12 x_{3} & = & 3, \end{array}\right.
e pede 4 coisas:
(a) Determinar a matriz da função de iteração do método de Jacobi na forma T\vec{x}+d aplicada ao sistema acima.
(b) Verificar se o método de Jacobi é convergente para esse sistema.
(c) Escrever as equações de iteração do método de Gauss–Seidel para esse sistema (i.e., as fórmulas que dão x_1^{(k+1)},x_2^{(k+1)},x_3^{(k+1)} em função das componentes apropriadas da iteração anterior).
(d) A partir da condição inicial \vec{x}^{(0)} = (-0{,}50,\,0{,}23,\,0{,}07)^{\top}, realizar 3 iterações do método de Gauss–Seidel e apresentar os resultados com 6 casas decimais.
Informações relevantes dadas explicitamente:
A=\begin{pmatrix}4 & -1 & 2\\[2pt]2 & 10 & -4\\[2pt]-3 & 3 & 12\end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}-2\\[2pt]1\\[2pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 2

(a) Método de Jacobi — ideia e derivação da matriz T e do vetor d.
Explicação didática curta: No método de Jacobi escrevemos A=D+R, onde D é a matriz diagonal com os elementos diagonais de A e R=A-D contém os restantes elementos. A iteração de Jacobi é
\vec{x}^{(k+1)} = D^{-1}(\vec{b}-R\vec{x}^{(k)}) = -D^{-1}R\,\vec{x}^{(k)} + D^{-1}\vec{b}.
Aqui T = -D^{-1}R é a matriz de iteração e d=D^{-1}\vec{b} é o termo constante. Vou calcular passo a passo.
Primeiro identifiquemos D e R:
D=\begin{pmatrix}4&0&0\\[2pt]0&10&0\\[2pt]0&0&12\end{pmatrix},\qquad R=A-D=\begin{pmatrix}0&-1&2\\[2pt]2&0&-4\\[2pt]-3&3&0\end{pmatrix}.
A inversa de D (é simples porque D é diagonal) é
D^{-1}=\begin{pmatrix}1/4&0&0\\[2pt]0&1/10&0\\[2pt]0&0&1/12\end{pmatrix}.
Agora T=-D^{-1}R. Vou calcular linha a linha:
  • Linha 1: -\tfrac{1}{4}\cdot (0,\,-1,\,2) = \bigl(0,\;+\tfrac{1}{4},\;-\tfrac{1}{2}\bigr).
  • Linha 2: -\tfrac{1}{10}\cdot (2,\,0,\,-4) = \bigl(-\tfrac{1}{5},\;0,\;+\tfrac{2}{5}\bigr).
  • Linha 3: -\tfrac{1}{12}\cdot (-3,\,3,\,0) = \bigl(+\tfrac{1}{4},\;-\tfrac{1}{4},\;0\bigr).
Portanto a matriz de iteração é
T=\begin{pmatrix} 0 & \tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] -\tfrac{1}{5} & 0 & \tfrac{2}{5}\\[4pt] \tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{4} & 0 \end{pmatrix}.
O vetor constante é d=D^{-1}\vec{b}. Calculando cada componente:
d_1=\tfrac{1}{4}\cdot(-2)=-\tfrac{1}{2},\qquad d_2=\tfrac{1}{10}\cdot 1=\tfrac{1}{10},\qquad d_3=\tfrac{1}{12}\cdot 3=\tfrac{1}{4}.
Logo
d=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[2pt]\tfrac{1}{10}\\[2pt]\tfrac{1}{4}\end{pmatrix}.]

Passo 3

(b) Convergência do método de Jacobi — critério usado e verificação.
Conceito importante: Jacobi converge para qualquer vetor inicial se a matriz de iteração T tiver raio espectral \rho(T)<1. Uma condição suficiente (fácil de verificar na prova) é que a matriz A seja estritamente diagonalmente dominante por linhas, ou seja, para cada linha i valha
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Se isso ocorrer, Jacobi (e também Gauss–Seidel) convergem.
Verifiquemos linha a linha para a matriz A:
  • Linha 1: |a_{11}|=|4|=4 e \sum_{j\neq1}|a_{1j}|=|{-1}|+|2|=1+2=3. Portanto 4>3.
  • Linha 2: |a_{22}|=|10|=10 e \sum_{j\neq2}|a_{2j}|=|2|+|{-4}|=2+4=6. Portanto 10>6.
  • Linha 3: |a_{33}|=|12|=12 e \sum_{j\neq3}|a_{3j}|=|{-3}|+|3|=3+3=6. Portanto 12>6.
Como cada linha satisfaz a desigualdade estrita, A é estritamente diagonalmente dominante por linhas. Conclusão: o método de Jacobi é convergente para este sistema (a condição é suficiente).

Passo 4

(c) Equações do método de Gauss–Seidel — derivação e explicação.
Explicação didática curta: No Gauss–Seidel atualizamos as componentes de \vec{x} sequencialmente e, ao calcular x_i^{(k+1)}, usamos já as componentes atualizadas x_1^{(k+1)},\dots,x_{i-1}^{(k+1)} e as componentes antigas x_{i+1}^{(k)},\dots. Para obter as fórmulas, isolamos cada x_i na linha correspondente do sistema.
Da primeira equação 4x_1 - x_2 + 2x_3 = -2 isolamos x_1:
x_1 = \frac{-2 + x_2 - 2x_3}{4}.
Assim, no método:
x_1^{(k+1)} = \frac{-2 + x_2^{(k)} - 2x_3^{(k)}}{4}.
Da segunda equação 2x_1 + 10x_2 -4x_3 = 1 isolamos x_2:
x_2 = \frac{1 - 2x_1 + 4x_3}{10}.
No método (usando x_1^{(k+1)} já atualizado e x_3^{(k)} antigo):
x_2^{(k+1)} = \frac{1 - 2x_1^{(k+1)} + 4x_3^{(k)}}{10}.
Da terceira equação -3x_1 + 3x_2 + 12x_3 = 3 isolamos x_3:
x_3 = \frac{3 + 3x_1 - 3x_2}{12}.
No método (usando x_1^{(k+1)} e x_2^{(k+1)} já atualizados):
x_3^{(k+1)} = \frac{3 + 3x_1^{(k+1)} - 3x_2^{(k+1)}}{12}.
Portanto as equações de Gauss–Seidel são:
\boxed{\,\begin{aligned} x_1^{(k+1)} &= \dfrac{-2 + x_2^{(k)} - 2x_3^{(k)}}{4},\\[6pt] x_2^{(k+1)} &= \dfrac{1 - 2x_1^{(k+1)} + 4x_3^{(k)}}{10},\\[6pt] x_3^{(k+1)} &= \dfrac{3 + 3x_1^{(k+1)} - 3x_2^{(k+1)}}{12}. \end{aligned}\,}]

Passo 5

(d) Três iteradas do método de Gauss–Seidel a partir de \vec{x}^{(0)}=(-0{,}50,\,0{,}23,\,0{,}07)^{\top}. Vou calcular cuidadosamente cada passo e arredondar os resultados finais de cada iterada para 6 casas decimais.
Dados iniciais:
\vec{x}^{(0)}=\begin{pmatrix}-0{,}50\\[2pt]0{,}23\\[2pt]0{,}07\end{pmatrix}.
Iteração k=0 \to k=1:
  1. x_1^{(1)}=\dfrac{-2 + x_2^{(0)} - 2x_3^{(0)}}{4} =\dfrac{-2 + 0{,}23 - 2\cdot 0{,}07}{4} =\dfrac{-2 + 0{,}23 - 0{,}14}{4} =\dfrac{-1{,}91}{4}=-0{,}4775.
Arredondando a 6 casas: x_1^{(1)}=-0{,}477500.
  1. x_2^{(1)}=\dfrac{1 - 2x_1^{(1)} + 4x_3^{(0)}}{10} =\dfrac{1 - 2(-0{,}4775) + 4\cdot 0{,}07}{10} =\dfrac{1 + 0{,}955 + 0{,}28}{10} =\dfrac{2{,}235}{10}=0{,}2235.
Arredondando a 6 casas: x_2^{(1)}=0{,}223500.
  1. x_3^{(1)}=\dfrac{3 + 3x_1^{(1)} - 3x_2^{(1)}}{12} =\dfrac{3 + 3(-0{,}4775) - 3(0{,}2235)}{12} =\dfrac{3 -1{,}4325 -0{,}6705}{12} =\dfrac{0{,}897}{12}=0{,}07475.
Arredondando a 6 casas: x_3^{(1)}=0{,}074750.
Logo
\vec{x}^{(1)}=\begin{pmatrix}-0{,}477500\\[2pt]0{,}223500\\[2pt]0{,}074750\end{pmatrix}.
Iteração k=1 \to k=2:
  1. x_1^{(2)}=\dfrac{-2 + x_2^{(1)} - 2x_3^{(1)}}{4} =\dfrac{-2 + 0{,}2235 - 2\cdot 0{,}07475}{4} =\dfrac{-2 + 0{,}2235 - 0{,}1495}{4} =\dfrac{-1{,}926}{4}=-0{,}4815.
Arredondando a 6 casas: x_1^{(2)}=-0{,}481500.
  1. x_2^{(2)}=\dfrac{1 - 2x_1^{(2)} + 4x_3^{(1)}}{10} =\dfrac{1 - 2(-0{,}4815) + 4\cdot 0{,}07475}{10} =\dfrac{1 + 0{,}963 + 0{,}299}{10} =\dfrac{2{,}262}{10}=0{,}2262.
Arredondando a 6 casas: x_2^{(2)}=0{,}226200.
  1. x_3^{(2)}=\dfrac{3 + 3x_1^{(2)} - 3x_2^{(2)}}{12} =\dfrac{3 + 3(-0{,}4815) - 3(0{,}2262)}{12} =\dfrac{3 -1{,}4445 -0{,}6786}{12} =\dfrac{0{,}8769}{12}=0{,}073075.
Arredondando a 6 casas: x_3^{(2)}=0{,}073075.
Logo
\vec{x}^{(2)}=\begin{pmatrix}-0{,}481500\\[2pt]0{,}226200\\[2pt]0{,}073075\end{pmatrix}.
Iteração k=2 \to k=3:
  1. x_1^{(3)}=\dfrac{-2 + x_2^{(2)} - 2x_3^{(2)}}{4} =\dfrac{-2 + 0{,}2262 - 2\cdot 0{,}073075}{4} =\dfrac{-2 + 0{,}2262 - 0{,}14615}{4} =\dfrac{-1{,}91995}{4}=-0{,}4799875.
Arredondando a 6 casas: x_1^{(3)}=-0{,}479988.
  1. x_2^{(3)}=\dfrac{1 - 2x_1^{(3)} + 4x_3^{(2)}}{10} =\dfrac{1 - 2(-0{,}4799875) + 4\cdot 0{,}073075}{10} =\dfrac{1 + 0{,}959975 + 0{,}2923}{10} =\dfrac{2{,}252275}{10}=0{,}2252275.
Arredondando a 6 casas: x_2^{(3)}=0{,}225228.
  1. x_3^{(3)}=\dfrac{3 + 3x_1^{(3)} - 3x_2^{(3)}}{12} =\dfrac{3 + 3(-0{,}4799875) - 3(0{,}2252275)}{12} =\dfrac{3 -1{,}4399625 -0{,}6756825}{12} =\dfrac{0{,}884355}{12}=0{,}07369625.
Arredondando a 6 casas: x_3^{(3)}=0{,}073696.
Portanto
\vec{x}^{(3)}=\begin{pmatrix}-0{,}479988\\[2pt]0{,}225228\\[2pt]0{,}073696\end{pmatrix}.]

Resposta

(a) T=\begin{pmatrix} 0 & \tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] -\tfrac{1}{5} & 0 & \tfrac{2}{5}\\[4pt] \tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{4} & 0 \end{pmatrix},\qquad d=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[2pt]\tfrac{1}{10}\\[2pt]\tfrac{1}{4}\end{pmatrix}.
(b) Sim: o método de Jacobi é convergente, pois A é estritamente diagonalmente dominante por linhas (cada |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|).
(c) Equações de Gauss–Seidel:
\begin{aligned} x_1^{(k+1)} &= \dfrac{-2 + x_2^{(k)} - 2x_3^{(k)}}{4},\\[6pt] x_2^{(k+1)} &= \dfrac{1 - 2x_1^{(k+1)} + 4x_3^{(k)}}{10},\\[6pt] x_3^{(k+1)} &= \dfrac{3 + 3x_1^{(k+1)} - 3x_2^{(k+1)}}{12}. \end{aligned}
(d) Três iteradas (arredondadas a 6 casas decimais):
\vec{x}^{(1)}=\begin{pmatrix}-0{,}477500\\[2pt]0{,}223500\\[2pt]0{,}074750\end{pmatrix},\quad \vec{x}^{(2)}=\begin{pmatrix}-0{,}481500\\[2pt]0{,}226200\\[2pt]0{,}073075\end{pmatrix},\quad \vec{x}^{(3)}=\begin{pmatrix}-0{,}479988\\[2pt]0{,}225228\\[2pt]0{,}073696\end{pmatrix}.

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