Aproxime a integral
I=\int_{1}^{2} \sqrt{x+1} d x
usando a Regra do Trapézio Simples.
(a) Calcule a aproximação T.
(b) Determine o valor exato da integral.
(c) Encontre o erro real E=I-T.

Passo 1

O enunciado pede que a gente aproxime e calcule exatamente a integral
I=\int_{1}^{2} \sqrt{x+1}\,dx
usando a Regra do Trapézio Simples. Especificamente as perguntas são:
(a) Calcule a aproximação T dada pela Regra do Trapézio Simples.
(b) Determine o valor exato da integral I.
(c) Encontre o erro real E=I-T.
Informações fornecidas e relevantes:
\text{intervalo: }[a,b]=[1,2],\qquad f(x)=\sqrt{x+1}=(x+1)^{1/2}.
Como é a “Regra do Trapézio Simples”, usaremos um único trapézio no intervalo [1,2] (ou seja, n=1, apenas os pontos x_0=a=1 e x_1=b=2).

Passo 2

Explicação didática da Regra do Trapézio Simples e fórmula:
A Regra do Trapézio aproxima a área sob a curva y=f(x) no intervalo [a,b] por um trapézio cujo lados paralelos têm alturas f(a) e f(b) e base b-a. A área de um trapézio é a base vezes a média das duas alturas. Daí a fórmula para um único trapézio:
T=\frac{b-a}{2}\bigl(f(a)+f(b)\bigr).
Aqui as variáveis significam:
a=1,\quad b=2,\quad f(a)=\sqrt{1+1}=\sqrt{2},\quad f(b)=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}.

Passo 3

Aplicando a fórmula da Regra do Trapézio ao nosso caso:
T=\frac{2-1}{2}\bigl(\sqrt{2}+\sqrt{3}\bigr)=\frac{1}{2}\bigl(\sqrt{2}+\sqrt{3}\bigr).
Se você quiser uma aproximação decimal, calculamos:
\sqrt{2}\approx1,4142135624,\qquad \sqrt{3}\approx1,7320508076,
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T=\frac{1}{2}\bigl(\sqrt{2}+\sqrt{3}\bigr)\approx\frac{1}{2}\cdot3,1462643700\approx1,5731321850.

Passo 4

Agora vamos encontrar o valor exato da integral I. Para integrar f(x)=(x+1)^{1/2} usamos a regra da potência (ou uma substituição simples u=x+1). A regra da potência diz que, para n\neq-1,
\int (x+1)^{n}\,dx=\frac{(x+1)^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, então a primitiva é
F(x)=\frac{(x+1)^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}.
Portanto a integral definida é
I=F(2)-F(1)=\frac{2}{3}\bigl((2+1)^{3/2}-(1+1)^{3/2}\bigr).

Passo 5

Simplificando as potências:
(3)^{3/2}=3\sqrt{3},\qquad (2)^{3/2}=2\sqrt{2}.
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I=\frac{2}{3}\bigl(3\sqrt{3}-2\sqrt{2}\bigr).
Podemos distribuir \tfrac{2}{3} para obter uma forma alternativa:
I=2\sqrt{3}-\frac{4}{3}\sqrt{2}.
Se desejarmos a aproximacão decimal:
I\approx2\cdot1,7320508076-\frac{4}{3}\cdot1,4142135624\approx1,5784835320.

Passo 6

Agora calculamos o erro real E=I-T. Primeiro escrevemos I e T em forma algébrica e subtraímos:
I-T=\left(2\sqrt{3}-\frac{4}{3}\sqrt{2}\right)-\frac{1}{2}\bigl(\sqrt{2}+\sqrt{3}\bigr).
Agrupando termos em \sqrt{3} e \sqrt{2}:
I-T=\left(2-\frac{1}{2}\right)\sqrt{3}+\left(-\frac{4}{3}-\frac{1}{2}\right)\sqrt{2}.
Calculando os coeficientes:
2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2},\qquad -\frac{4}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{8}{6}-\frac{3}{6}=-\frac{11}{6}.
Portanto a expressão exata do erro é
E=\frac{3}{2}\sqrt{3}-\frac{11}{6}\sqrt{2}.

Passo 7

Agora a parte numérica final do erro (para termos uma ideia do tamanho):
E\approx1,5784835320-1,5731321850\approx0,0053513470.
O erro é positivo, ou seja, a Regra do Trapézio Simple subestimou ligeiramente a integral neste caso, e o erro é aproximadamente 5{,}35\times10^{-3}.

Resposta

(a) T=\dfrac{1}{2}\bigl(\sqrt{2}+\sqrt{3}\bigr)\approx1,5731321850
(b) I= \dfrac{2}{3}\bigl(3\sqrt{3}-2\sqrt{2}\bigr)=2\sqrt{3}-\dfrac{4}{3}\sqrt{2}\approx1,5784835320
(c) E=I-T=\dfrac{3}{2}\sqrt{3}-\dfrac{11}{6}\sqrt{2}\approx0,0053513470

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