Aproxime a integral
usando a Regra do Trapézio Simples.
(a) Calcule a aproximação
.
(b) Determine o valor exato da integral.
(c) Encontre o erro real
.
(a) Calcule a aproximação
(b) Determine o valor exato da integral.
(c) Encontre o erro real
Passo 1
O enunciado pede que a gente aproxime e calcule exatamente a integral
usando a Regra do Trapézio Simples. Especificamente as perguntas são:
(a) Calcule a aproximação dada pela Regra do Trapézio Simples.
(b) Determine o valor exato da integral .
(c) Encontre o erro real .
(a) Calcule a aproximação
(b) Determine o valor exato da integral
(c) Encontre o erro real
Informações fornecidas e relevantes:
Como é a “Regra do Trapézio Simples”, usaremos um único trapézio no intervalo
(ou seja,
, apenas os pontos
e
).
Passo 2
Explicação didática da Regra do Trapézio Simples e fórmula:
A Regra do Trapézio aproxima a área sob a curva no intervalo
por um trapézio cujo lados paralelos têm alturas
e
e base
. A área de um trapézio é a base vezes a média das duas alturas. Daí a fórmula para um único trapézio:
A Regra do Trapézio aproxima a área sob a curva
Aqui as variáveis significam:
Passo 3
Aplicando a fórmula da Regra do Trapézio ao nosso caso:
Se você quiser uma aproximação decimal, calculamos:
logo
Passo 4
Agora vamos encontrar o valor exato da integral
. Para integrar
usamos a regra da potência (ou uma substituição simples
). A regra da potência diz que, para
,
Aqui
, então a primitiva é
Portanto a integral definida é
Passo 5
Simplificando as potências:
Logo
Podemos distribuir
para obter uma forma alternativa:
Se desejarmos a aproximacão decimal:
Passo 6
Agora calculamos o erro real
. Primeiro escrevemos
e
em forma algébrica e subtraímos:
Agrupando termos em
e
:
Calculando os coeficientes:
Portanto a expressão exata do erro é
Passo 7
Agora a parte numérica final do erro (para termos uma ideia do tamanho):
O erro é positivo, ou seja, a Regra do Trapézio Simple subestimou ligeiramente a integral neste caso, e o erro é aproximadamente
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)