e resolva os seguintes itens.
a) Use o método de eliminação de Gauss com substituição regressiva e pivotamento parcial para resolver o sistema dado pela Eq. (1) (apresente os resultados com arredondamento de 3 casas decimais).
b) A matriz dos coeficientes do sistema (1) possui fatoração (decomposição) LU? Justifique.
c) Qual operação de troca de linhas pode ser realizada na matriz dos coeficientes do sistema (1) de forma a permitir que a matriz obtida possua fatoração L U ?
d) Realize a troca de linhas apresentada como resposta do item c) na matriz dos coeficientes do sistema (1) e, a partir da matriz obtida, determine as matrizes para fatoração L U.
e pede quatro coisas:
a) resolver o sistema usando eliminação de Gauss com substituição regressiva e pivotamento parcial (resultados arredondados com 3 casas decimais);
b) dizer se a matriz dos coeficientes possui fatoração LU (sem permutações) e justificar;
c) indicar qual troca de linhas pode ser feita na matriz dos coeficientes para que a matriz obtida possua fatoração LU;
d) aplicar essa troca de linhas e determinar as matrizes da fatoração LU.
Informações relevantes (coeficientes e termos independentes):
Explico o método que vamos aplicar no item (a) — eliminação de Gauss com pivotamento parcial — de forma bem prática e passo a passo:
O objetivo da eliminação é transformar o sistema em um sistema triangular superior U x = \tilde b por operações elementares de linha (subtrair múltiplos de uma linha das linhas abaixo).
Pivotamento parcial: em cada coluna de pivô escolhemos, entre as linhas ainda não eliminadas, a linha cujo elemento na coluna atual tem maior valor absoluto; se essa linha não for a atual, fazemos uma troca de linhas (isso evita divisões por números muito pequenos e evita pivôs zero).
Registramos os múltiplos usados para eliminar (chamados de multiplicadores) para posterior substituição regressiva. Cada multiplicador m_{i,k} é dado por m_{i,k} = \dfrac{a_{ik}}{a_{kk}} no momento do passo (antes de zerar).
Vou aplicar esse procedimento ao sistema, mostrando todos os cálculos.
Passo 3
Passo 1 da eliminação (coluna 1, pivotamento parcial):
Coluna 1, valores absolutos: |2|,|1|,|{-1}|,|1| = 2,1,1,1. O maior é 2 (linha 1), logo não trocamos linhas. O pivô é a_{11}=2.
Calculamos os multiplicadores e zeramos as entradas abaixo do pivô:
m_{21} = \dfrac{a_{21}}{a_{11}} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5.
Nova linha 2 = linha 2 − m_{21} × linha 1:
m_{31} = \dfrac{a_{31}}{a_{11}} = \dfrac{-1}{2} = -0{,}5.
Nova linha 3 = linha 3 − m_{31} × linha 1 (note que m_{31} é negativo, portanto somamos metade da linha 1):
Passo 2 da eliminação (coluna 2, pivotamento parcial):
Agora escolhemos pivot na coluna 2 entre linhas 2 a 4: valores absolutos |0{,}5|,|2{,}5|,|1{,}5| = 0{,}5,2{,}5,1{,}5. O maior é 2{,}5 (linha 3). Portanto trocamos as linhas 2 e 3 (troca de linhas aplicada tanto na matriz de coeficientes quanto no vetor b). Esta é a etapa de pivotamento parcial.
O pivô a_{33}=-1{,}0 é diferente de zero, e abaixo dele só temos zero na coluna 3, então não há mais eliminações a fazer na coluna 3. A matriz já está triangular superior.]
Passo 6
Substituição regressiva (resolver U x = \tilde b):
A partir da matriz triangular superior final (já com o vetor de termos independentes apropriado), as equações são:
Resposta ao item (b): a existência de uma fatoração LU sem permutações (ou seja, com A=LU onde L é unitária inferior e U superior) exige que durante a eliminação sem trocar linhas não ocorram pivôs iguais a zero. Uma condição prática suficiente é que todos os menores principais (determinantes dos sub-blocos superiores esquerdo) sejam não nulos.
Calculamos o menor principal de ordem 3 (os primeiros 3\times 3 de A):
Como esse menor principal é zero, durante a eliminação sem pivotamento o terceiro pivô seria zero (ou, como vimos se tentarmos eliminar sem trocar linhas, aparece um pivô igual a zero), portanto a matriz A NÃO possui fatoração LU sem permutações (não existe L unitária e U tal que A=LU sem permutar linhas). Conclusão do item (b): não.]
Passo 8
Item (c): precisamos indicar uma troca de linhas que torne a matriz permutada P A apta a ter fatoração LU. Uma troca possível é trocar a segunda e a quarta linhas da matriz A. Ou seja, aplicar a permutação que intercambia as linhas 2 e 4.
Justificativa curta: se permutarmos as linhas 2 e 4 obtemos a matriz
Os menores principais iniciais têm determinantes não nulos (em particular o menor principal 3\times 3 vale 5), logo a eliminação sem trocar linhas em A' produz pivôs não nulos e existe fatoração LU para A'.]
Passo 9
Item (d): agora executo a fatoração LU na matriz permutada A' (sem mais permutações). Vou usar o procedimento padrão (Doolittle): armazenar os multiplicadores em L e os elementos da matriz triangular superior em U.
Assim obtemos a matriz triangular superior U e a matriz L (com diagonal de uns e multiplicadores abaixo da diagonal). Escrevo-as com frações (exatas) e também com 3 casas decimais:
Verificação rápida (conceitual): A' = L U e, como A' é obtida trocando-se as linhas 2 e 4 de A, temos P A = L U com P a permutação que troca as linhas 2 e 4.]
Resposta
a) x_{1}=-4{,}000,\quad x_{2}=4{,}333,\quad x_{3}=-3{,}000,\quad x_{4}=5{,}667.
b) Não; A não possui fatoração LU sem permutações porque o menor principal de ordem 3 é zero (o terceiro pivô seria zero).
c) Trocar a segunda e a quarta linhas da matriz dos coeficientes (isto é, aplicar a permutação que intercambia as linhas 2 e 4).
d) Para a matriz permutada