Questão 1. Considere o seguinte sistema de ponto flutuante \operatorname{SPF}(10,3,-5,5). Represente os seguintes números neste sistema tanto por arredondamento, quanto por truncamento. E caso haja outros tipos de erros identifique:
x_{4}=2,983718

Passo 1

O enunciado pede que, no sistema de ponto flutuante \operatorname{SPF}(10,3,-5,5), se represente o número x_{4}=2,983718 por arredondamento e por truncamento, e que se identifiquem outros tipos de erros possíveis. Informações dadas e o que preciso produzir:
  • Dados do sistema: base 10, t=3 dígitos significativos, expoentes mínimos e máximos e_{\min}=-5 e e_{\max}=5.
  • Número a ser representado: x_{4}=2,983718.
  • Respostas pedidas:
    1. representação por truncamento (mantendo os t=3 dígitos significativos);
    2. representação por arredondamento (à vizinhança mais próxima com t=3);
    3. identificar outros erros (como estouro/sobres, underflow, erro absoluto/relativo, limite de arredondamento).

Passo 2

O que significa \operatorname{SPF}(10,3,-5,5) e regras de normalização (aula rápida, amigável).
  • Base \beta=10. Isso quer dizer que os dígitos são em decimal.
  • Precisão t=3: cada número normalizado será guardado com exatamente três dígitos significativos.
  • Exponentes permitidos de -5 a 5: números devem ser escritos na forma normalizada \pm d_0.d_1 d_2 \times 10^{e} com d_0\in\{1,\dots,9\} e e_{\min}\le e\le e_{\max}.
  • Normalização: o primeiro dígito d_0 não pode ser zero (exceto para o zero).
  • Truncamento: cortar todos os dígitos após os t dígitos significativos, sem ajustar o último dígito.
  • Arredondamento (para o mais próximo): olhar o dígito imediatamente após os t dígitos; se for \ge 5 incrementa-se o último dígito mantido, se for <5 mantém-se como está. (Aqui usarei o arredondamento para o mais próximo; regras de tie-breaker não são necessárias neste caso.)

Passo 3

Colocar x_{4} em forma normalizada e identificar os dígitos.
  • O número dado é x_{4}=2,983718. Ele já está com expoente e=0 na forma normalizada: x_{4}=2,983718\times 10^{0}.
  • Os dígitos significativos (em sequência) são 2,\;9,\;8,\;3,\;7,\;1,\;8.
  • Como t=3, precisamos manter os três primeiros dígitos significativos: 2,\;9,\;8. O quarto dígito (para decidir o arredondamento) é 3.

Passo 4

Truncamento (passo a passo).
  • Definição prática: manter os três primeiros dígitos e cortar o resto.
  • Mantendo 2,9,8 e cortando depois, obtemos a mantissa \;2,98 (três dígitos significativos sendo 2, 9 e 8 — escrevemos como 2,98\times10^{0}).
  • Logo, por truncamento: \operatorname{fl}_{\text{trunc}}(x_{4})=2,98\times10^{0}.

Passo 5

Arredondamento (passo a passo).
  • Regra: olhar o dígito seguinte ao terceiro; esse dígito é 3.
  • Como 3<5, não incrementamos o último dígito mantido ( 8). Assim o resultado arredondado também fica com mantissa 2,98.
  • Logo, por arredondamento para o mais próximo: \operatorname{fl}_{\text{round}}(x_{4})=2,98\times10^{0}.
  • Observação amistosa: neste caso truncamento e arredondamento coincidiram porque o quarto dígito é pequeno ( 3).

Passo 6

Verificação de overflow/underflow e identificação de outros erros.
  • Expoente usado é e=0, que está dentro do intervalo permitido [-5,5]. Portanto não há overflow nem underflow.
  • O número representado é normalizado e representável no sistema; não há necessidade de formatos subnormais.
  • Erro de arredondamento (erro de máquina) existe porque substituímos x_{4} por uma aproximação com apenas três dígitos. Vamos calcular o erro absoluto e relativo e comparar com limites teóricos.

Passo 7

Cálculo do erro absoluto e relativo (detalhado).
  • Erro absoluto: \Delta = \left|x_{4}-\operatorname{fl}(x_{4})\right| = \left|2,983718 - 2,98\right| = 0,003718.
  • Erro relativo: \delta = \frac{\Delta}{|x_{4}|} = \frac{0,003718}{2,983718}\approx 0,0012466\\ (\text{aprox. }1,2466\times10^{-3}).
  • Limite teórico do erro relativo:
    • Para arredondamento para o mais próximo, o erro relativo absoluto é limitado por u=\tfrac{1}{2}\beta^{1-t}. Aqui \beta^{1-t}=10^{1-3}=10^{-2}=0,01, logo u=\tfrac{1}{2}\cdot 10^{-2}=0,005.E de fato \delta\approx0,0012466<0,005, dentro do limite.
    • Para truncamento o limite de erro relativo máximo seria \beta^{1-t}=0,01. Estamos também bem dentro desse limite.

Passo 8

Resumo final dos tipos de erro identificados (resumão encorajante).
  • Erro de arredondamento/truncamento (aproximação) existe: valores calculados acima.
  • Não houve overflow nem underflow.
  • Não houve necessidade de tratar subnormais.
  • Truncamento e arredondamento deram o mesmo valor neste caso específico.

Resposta

Arredondamento: \;2,98\times10^{0}
Truncamento: \;2,98\times10^{0}
Erro absoluto: \;0,003718
Erro relativo aproximado: \;0,0012466
Outros erros: não há overflow nem underflow; apenas o erro de aproximação (round-off/truncation).

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