Questão 1. Considere o seguinte sistema de ponto flutuante
. Represente os seguintes números neste sistema tanto por arredondamento, quanto por truncamento. E caso haja outros tipos de erros identifique:
Passo 1
O enunciado pede que, no sistema de ponto flutuante
, se represente o número
por arredondamento e por truncamento, e que se identifiquem outros tipos de erros possíveis. Informações dadas e o que preciso produzir:
- Dados do sistema: base
, dígitos significativos, expoentes mínimos e máximos e . - Número a ser representado:
. - Respostas pedidas:
- representação por truncamento (mantendo os
dígitos significativos); - representação por arredondamento (à vizinhança mais próxima com
); - identificar outros erros (como estouro/sobres, underflow, erro absoluto/relativo, limite de arredondamento).
- representação por truncamento (mantendo os
Passo 2
O que significa
e regras de normalização (aula rápida, amigável).
- Base
. Isso quer dizer que os dígitos são em decimal. - Precisão
: cada número normalizado será guardado com exatamente três dígitos significativos. - Exponentes permitidos de
a : números devem ser escritos na forma normalizada com e . - Normalização: o primeiro dígito
não pode ser zero (exceto para o zero). - Truncamento: cortar todos os dígitos após os
dígitos significativos, sem ajustar o último dígito. - Arredondamento (para o mais próximo): olhar o dígito imediatamente após os
dígitos; se for incrementa-se o último dígito mantido, se for mantém-se como está. (Aqui usarei o arredondamento para o mais próximo; regras de tie-breaker não são necessárias neste caso.)
Passo 3
Colocar
em forma normalizada e identificar os dígitos.
- O número dado é
. Ele já está com expoente na forma normalizada: - Os dígitos significativos (em sequência) são
. - Como
, precisamos manter os três primeiros dígitos significativos: . O quarto dígito (para decidir o arredondamento) é .
Passo 4
Truncamento (passo a passo).
- Definição prática: manter os três primeiros dígitos e cortar o resto.
- Mantendo
e cortando depois, obtemos a mantissa (três dígitos significativos sendo , e — escrevemos como ). - Logo, por truncamento:
Passo 5
Arredondamento (passo a passo).
- Regra: olhar o dígito seguinte ao terceiro; esse dígito é
. - Como
, não incrementamos o último dígito mantido ( ). Assim o resultado arredondado também fica com mantissa . - Logo, por arredondamento para o mais próximo:
- Observação amistosa: neste caso truncamento e arredondamento coincidiram porque o quarto dígito é pequeno (
).
Passo 6
Verificação de overflow/underflow e identificação de outros erros.
- Expoente usado é
, que está dentro do intervalo permitido . Portanto não há overflow nem underflow. - O número representado é normalizado e representável no sistema; não há necessidade de formatos subnormais.
- Erro de arredondamento (erro de máquina) existe porque substituímos
por uma aproximação com apenas três dígitos. Vamos calcular o erro absoluto e relativo e comparar com limites teóricos.
Passo 7
Cálculo do erro absoluto e relativo (detalhado).
- Erro absoluto:
- Erro relativo:
- Limite teórico do erro relativo:
- Para arredondamento para o mais próximo, o erro relativo absoluto é limitado por
. Aqui , logo E de fato , dentro do limite. - Para truncamento o limite de erro relativo máximo seria
. Estamos também bem dentro desse limite.
- Para arredondamento para o mais próximo, o erro relativo absoluto é limitado por
Passo 8
Resumo final dos tipos de erro identificados (resumão encorajante).
- Erro de arredondamento/truncamento (aproximação) existe: valores calculados acima.
- Não houve overflow nem underflow.
- Não houve necessidade de tratar subnormais.
- Truncamento e arredondamento deram o mesmo valor neste caso específico.
Resposta
Arredondamento:
Truncamento:
Erro absoluto:
Erro relativo aproximado:
Outros erros: não há overflow nem underflow; apenas o erro de aproximação (round-off/truncation).
Truncamento:
Erro absoluto:
Erro relativo aproximado:
Outros erros: não há overflow nem underflow; apenas o erro de aproximação (round-off/truncation).