Questão 1 Considere a tabela
0 0,15 0,22 0,3 0,4 0,5 0,6 0,75 0,8
1 1,1618 1,2461 1,3499 1,4918 1,6487 1,8221 2,1170 2,2255
(a) Quais pontos da tabela você usaria para estimar o valor em , através de um polinômio interpolador do segundo grau? Justifique.
(b) Esta escolha seria diferente, dependendo do polinômio interpolador (Lagrange ou Newton) empregado ? Justifique.
(c) Avalie através de um polinômio interpolador de Lagrange de grau 2, empregando os pontos indentificados em (a).
(d) Estime o erro máximo de interpolação para o valor obtido em c), no intervalo considerado.

Passo 1

O enunciado fornece uma tabela de valores de e^x em vários pontos e pede para estimar e^0,45 usando um polinômio interpolador de grau 2 e, em seguida, estimar o erro máximo dessa interpolação. O conteúdo envolve:
  • Seleção dos nós de interpolação (três pontos mais próximos de x=0,45).
  • Construção do polinômio de Lagrange de grau 2.
  • Uso da fórmula do resto de interpolação
R2(x)=f^(3)(xi)3!,(x-x0)(x-x1)(x-x2),
com f(x)=e^x e xi em algum ponto do intervalo dos nós.

Passo 2

Para minimizar o erro de interpolação em x=0,45, escolhemos os três nós cujas abscissas estão mais próximas de 0,45. Na tabela temos
x=0,3,;0,4,;0,5
com
e^0,3=1,3499, e^0,4=1,4918, e^0,5=1,6487
Esses três estão a, respectivamente, 0,15, 0,05 e 0,05 de 0,45 e formam um conjunto bem distribuído.

Passo 3

A escolha dos nós independe da forma do polinômio (se Lagrange ou Newton), pois ambos os métodos utilizam exatamente o mesmo conjunto de nós. A única diferença está na forma de escrever o polinômio, mas os pontos selecionados para interpolar são os mesmos.

Passo 4

Construímos o polinômio de Lagrange de grau 2 em x0,x1,x2=0,3,0,4,0,5 e avaliamos em x=0,45. Primeiro as bases em x=0,45:
L0(0,45)=(0,45-0,4)(0,45-0,5)(0,3-0,4)(0,3-0,5) =(0,05)(-0,05)(-0,1)(-0,2)=-0,125,
L1(0,45)=(0,45-0,3)(0,45-0,5)(0,4-0,3)(0,4-0,5) =(0,15)(-0,05)(0,1)(-0,1)=0,75,
L2(0,45)=(0,45-0,3)(0,45-0,4)(0,5-0,3)(0,5-0,4) =(0,15)(0,05)(0,2)(0,1)=0,375
Logo,
P2(0,45) =1,3499cdot(-0,125) +1,4918cdot0,75 +1,6487cdot0,375 approx1,5684

Passo 5

O erro de interpolação satisfaz
R2(0,45)=f^(3)(xi)3!,(0,45-0,3)(0,45-0,4)(0,45-0,5),
com f^(3)(x)=e^x e xiin[0,3,0,5]. O maior valor de e^xi nesse intervalo é e^0,5=1,6487. Assim, em módulo,
|R2(0,45)|<=1,64876,(0,15)(0,05)(0,05)approx1,03times10^-4

Resposta

(a) Usar os pontos com x=0,3;;0,4;;0,5, pois são os três mais próximos de 0,45.
(b) Não, a escolha dos nós não muda com o método (Lagrange ou Newton).
(c) P2(0,45)approx1,5684.
(d) |R2(0,45)|<=1,03times10^-4

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