Questão 1 Considere a tabela
0
0,15
0,22
0,3
0,4
0,5
0,6
0,75
0,8
1
1,1618
1,2461
1,3499
1,4918
1,6487
1,8221
2,1170
2,2255
(a) Quais pontos da tabela você usaria para estimar o valor
em
, através de um polinômio interpolador do segundo grau? Justifique.
(b) Esta escolha seria diferente, dependendo do polinômio interpolador (Lagrange ou Newton) empregado ? Justifique.
(c) Avalie
através de um polinômio interpolador de Lagrange de grau 2, empregando os pontos indentificados em (a).
(d) Estime o erro máximo de interpolação para o valor obtido em c), no intervalo considerado.
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0 | 0,15 | 0,22 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,75 | 0,8 |
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1 | 1,1618 | 1,2461 | 1,3499 | 1,4918 | 1,6487 | 1,8221 | 2,1170 | 2,2255 |
(b) Esta escolha seria diferente, dependendo do polinômio interpolador (Lagrange ou Newton) empregado ? Justifique.
(c) Avalie
(d) Estime o erro máximo de interpolação para o valor obtido em c), no intervalo considerado.
Passo 1
O enunciado fornece uma tabela de valores de
em vários pontos e pede para estimar
usando um polinômio interpolador de grau 2 e, em seguida, estimar o erro máximo dessa interpolação. O conteúdo envolve:
- Seleção dos nós de interpolação (três pontos mais próximos de
). - Construção do polinômio de Lagrange de grau 2.
- Uso da fórmula do resto de interpolação
com
e
em algum ponto do intervalo dos nós.
Passo 2
Para minimizar o erro de interpolação em
, escolhemos os três nós cujas abscissas estão mais próximas de
. Na tabela temos
com
Esses três estão a, respectivamente,
,
e
de
e formam um conjunto bem distribuído.
Passo 3
A escolha dos nós independe da forma do polinômio (se Lagrange ou Newton), pois ambos os métodos utilizam exatamente o mesmo conjunto de nós. A única diferença está na forma de escrever o polinômio, mas os pontos selecionados para interpolar são os mesmos.
Passo 4
Construímos o polinômio de Lagrange de grau 2 em
e avaliamos em
. Primeiro as bases em
:
Logo,
Passo 5
O erro de interpolação satisfaz
com
e
. O maior valor de
nesse intervalo é
. Assim, em módulo,
Resposta
(a) Usar os pontos com
, pois são os três mais próximos de
.
(b) Não, a escolha dos nós não muda com o método (Lagrange ou Newton).
(c) .
(d)
(b) Não, a escolha dos nós não muda com o método (Lagrange ou Newton).
(c)
(d)