Questão 4: Construa as diferenças divididas associadas à tabela abaixo e responda:
0
1,0
0,7651
1
1,3
0,6200
2
1,6
0,4554
3
1,9
0,2818
4
2,2
0,1104
(a) A tabela de diferenças divididas permite escrever o (único) polinômio interpolador dos cinco pontos
:
por meio de duas expressões. Quais são elas ?
(b) Estime o valor da função
em
, por meio de um polinômio de Newton de grau 2, considerando a escolha apropriada dos pontos de interpolação.
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0 | 1,0 | 0,7651 | ||||
1 | 1,3 | 0,6200 | ||||
2 | 1,6 | 0,4554 | ||||
3 | 1,9 | 0,2818 | ||||
4 | 2,2 | 0,1104 |
(b) Estime o valor da função
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) construir a tabela de diferenças divididas para os pontos
,
, e usar isso para escrever o único polinômio interpolador de grau 4 em duas formas alternativas; (ii) estimar
usando um polinômio de Newton de grau 2, escolhendo os três pontos mais adequados. Vamos fazer isso em duas etapas.
Passo 2
Calculamos primeiro as diferenças divididas de ordem 1, usando
Passo 3
Agora as diferenças divididas de ordem 2, 3 e 4, usando sempre
Ordem 2:
Ordem 3:
Ordem 4:
Passo 4
(a) Com esses coeficientes, o polinômio interpolador de grau 4 pode ser escrito em duas formas de Newton:
Passo 5
(b) Para estimar
com um polinômio de grau 2 é melhor escolher os três pontos mais próximos de
, por exemplo
. O polinômio de Newton de grau 2 é
Substituindo os valores:
Resposta
(a) As duas expressões de Newton apresentadas no Passo 4.
(b) .
(b)