Questão 4: Construa as diferenças divididas associadas à tabela abaixo e responda:
0 1,0 0,7651
1 1,3 0,6200
2 1,6 0,4554
3 1,9 0,2818
4 2,2 0,1104
(a) A tabela de diferenças divididas permite escrever o (único) polinômio interpolador dos cinco pontos : por meio de duas expressões. Quais são elas ?
(b) Estime o valor da função em , por meio de um polinômio de Newton de grau 2, considerando a escolha apropriada dos pontos de interpolação.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) construir a tabela de diferenças divididas para os pontos
(xi,yi), i=0,dots,4, e usar isso para escrever o único polinômio interpolador de grau 4 em duas formas alternativas; (ii) estimar f(1,2) usando um polinômio de Newton de grau 2, escolhendo os três pontos mais adequados. Vamos fazer isso em duas etapas.

Passo 2

Calculamos primeiro as diferenças divididas de ordem 1, usando
f[xi,xi+1]=yi+1-yixi+1-xi
f[x0,x1]=0,6200-0,76511,3-1,0=-0,14510,3approx-0,483667,
f[x1,x2]=0,4554-0,62001,6-1,3=-0,16460,3approx-0,548667,
f[x2,x3]=0,2818-0,45541,9-1,6=-0,17360,3approx-0,578667,
f[x3,x4]=0,1104-0,28182,2-1,9=-0,17140,3approx-0,571333

Passo 3

Agora as diferenças divididas de ordem 2, 3 e 4, usando sempre
f[xi,dots,xi+k] =f[xi+1,dots,xi+k]-f[xi,dots,xi+k-1]xi+k-xi
Ordem 2:
f[x0,x1,x2] =-0,548667-(-0,483667)1,6-1,0 =-0,0650,6approx-0,108333,
f[x1,x2,x3] =-0,578667-(-0,548667)1,9-1,3 =-0,0300,6=-0,050000,
f[x2,x3,x4] =-0,571333-(-0,578667)2,2-1,6 =0,0073340,6approx0,012223
Ordem 3:
f[x0,x1,x2,x3] =-0,050000-(-0,108333)1,9-1,0 =0,0583330,9approx0,064815,
f[x1,x2,x3,x4] =0,012223-(-0,050000)2,2-1,3 =0,0622230,9approx0,069148
Ordem 4:
f[x0,dots,x4] =0,069148-0,0648152,2-1,0 =0,0043331,2approx0,003611

Passo 4

(a) Com esses coeficientes, o polinômio interpolador de grau 4 pode ser escrito em duas formas de Newton:
P4(x)=f[x0] +f[x0,x1],(x-x0) +f[x0,x1,x2],(x-x0)(x-x1) +f[x0,x1,x2,x3],(x-x0)(x-x1)(x-x2) +f[x0,dots,x4],(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3),
P4(x)=f[x4] +f[x3,x4],(x-x4) +f[x2,x3,x4],(x-x4)(x-x3) +f[x1,x2,x3,x4],(x-x4)(x-x3)(x-x2) +f[x0,dots,x4],(x-x4)(x-x3)(x-x2)(x-x1)

Passo 5

(b) Para estimar f(1,2) com um polinômio de grau 2 é melhor escolher os três pontos mais próximos de 1,2, por exemplo x0=1,0,;x1=1,3,;x2=1,6. O polinômio de Newton de grau 2 é
P2(x) =f[x0] +f[x0,x1],(x-1,0) +f[x0,x1,x2],(x-1,0)(x-1,3)
Substituindo os valores:
P2(1,2) =0,7651 +(-0,483667),(0,2) +(-0,108333),(0,2)(-0,1) approx0,7651-0,096733+0,002167 approx0,6705

Resposta

(a) As duas expressões de Newton apresentadas no Passo 4.
(b) f(1,2)approx0,6705.

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