Questão 8 Considere a tabela abaixo, com valores observados de uma função
que representa o consumo de água em uma cidade no período
. Deseja-se prever o consumo de água da cidade para
.
(a) Obtenha a reta
que melhor ajusta o conjunto de pontos dados.
(b) Com a reta obtida, estime
.
(c) Calcule a soma dos quadrados dos erros.
(d) Calcule também
e
.
(e) Alguma forma de interpolação polinomial seria adequada para avaliar
? Justifique.
0
1
2
3
4
11,0
10,5
10,3
10,2
10,8
(a) Obtenha a reta
(b) Com a reta obtida, estime
(c) Calcule a soma dos quadrados dos erros.
(d) Calcule também
(e) Alguma forma de interpolação polinomial seria adequada para avaliar
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|
11,0 | 10,5 | 10,3 | 10,2 | 10,8 |
Passo 1
O enunciado fornece cinco observações
de consumo de água em
, e pede: (a) a reta de regressão linear
por mínimos quadrados, (b) o valor previsto em
, (c) a soma dos quadrados dos resíduos, (d) o coeficiente de determinação
e a variância residual
, e (e) comentar se interpolação polinomial seria adequada para extrapolar em
. Vamos usar as fórmulas padrão de regressão linear.
Passo 2
Calculemos primeiro as somas necessárias:
As fórmulas de mínimos quadrados dão
Passo 3
A estimativa em
é
Passo 4
Calculamos os resíduos
e seus quadrados:
Portanto a soma dos quadrados dos erros é
Passo 5
Primeiro calculemos a variabilidade total:
Então
E a variância residual (erro médio quadrático) é
Passo 6
Para extrapolar em
, uma interpolação polinomial de grau 4 (que passa exatamente por todos os pontos) tenderia a oscilar fora do intervalo de dados (fenômeno de Runge) e produzir previsões pouco confiáveis. Por isso não é adequada para previsão além de
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Não; interpolação polinomial de grau alto é instável para extrapolação e pode gerar oscilações fora do intervalo conhecido.
(b)
(c)
(d)
(e) Não; interpolação polinomial de grau alto é instável para extrapolação e pode gerar oscilações fora do intervalo conhecido.