Questão 8 Considere a tabela abaixo, com valores observados de uma função que representa o consumo de água em uma cidade no período . Deseja-se prever o consumo de água da cidade para .
(a) Obtenha a reta que melhor ajusta o conjunto de pontos dados.
(b) Com a reta obtida, estime .
(c) Calcule a soma dos quadrados dos erros.
(d) Calcule também e .
(e) Alguma forma de interpolação polinomial seria adequada para avaliar ? Justifique.
0 1 2 3 4
11,0 10,5 10,3 10,2 10,8

Passo 1

O enunciado fornece cinco observações (ti,fi) de consumo de água em t=0,1,2,3,4, e pede: (a) a reta de regressão linear hat f(t)=a,t+b por mínimos quadrados, (b) o valor previsto em t=5, (c) a soma dos quadrados dos resíduos, (d) o coeficiente de determinação R^2 e a variância residual s^2, e (e) comentar se interpolação polinomial seria adequada para extrapolar em t=5. Vamos usar as fórmulas padrão de regressão linear.

Passo 2

Calculemos primeiro as somas necessárias:
n=5, sum ti=0+1+2+3+4=10, sum ti^2=0+1+4+9+16=30,
sum fi=11,0+10,5+10,3+10,2+10,8=52,8, sum ti fi=0cdot11,0+1cdot10,5+2cdot10,3+3cdot10,2+4cdot10,8=104,9
As fórmulas de mínimos quadrados dão
a=nsum ti fi - (sum ti)(sum fi)nsum ti^2 - (sum ti)^2 =5cdot104,9 - 10cdot52,85cdot30 - 10^2 =524,5 - 528150 - 100 =-0,07,
b=sum fi - asum tin =52,8 - (-0,07)cdot105 =52,8 + 0,75 =10,7

Passo 3

A estimativa em t=5 é
hat f(5)=acdot5 + b = -0,07cdot5 + 10,7 = 10,35

Passo 4

Calculamos os resíduos ei = fi - hat f(ti) e seus quadrados:
t&=0:;e0=11,0 - 10,7=0,30,;e0^2=0,09, t&=1:;e1=10,5 - 10,63=-0,13,;e1^2=0,0169, t&=2:;e2=10,3 - 10,56=-0,26,;e2^2=0,0676, t&=3:;e3=10,2 - 10,49=-0,29,;e3^2=0,0841, t&=4:;e4=10,8 - 10,42=0,38,;e4^2=0,1444
Portanto a soma dos quadrados dos erros é
SSE=sumi=0^4 ei^2 =0,09 + 0,0169 + 0,0676 + 0,0841 + 0,1444 =0,403

Passo 5

Primeiro calculemos a variabilidade total:
bar f=15sum fi=10,56, SST=sum(fi - bar f)^2 =0,452
Então
R^2=1 - SSESST =1 - 0,4030,452 approx0,109
E a variância residual (erro médio quadrático) é
s^2=SSEn-2 =0,4035-2 approx0,1343

Passo 6

Para extrapolar em t=5, uma interpolação polinomial de grau 4 (que passa exatamente por todos os pontos) tenderia a oscilar fora do intervalo de dados (fenômeno de Runge) e produzir previsões pouco confiáveis. Por isso não é adequada para previsão além de t=4.

Resposta

(a) hat f(t)=-0,07,t+10,7
(b) hat f(5)=10,35
(c) SSE=0,403
(d) R^2approx0,109, s^2approx0,1343
(e) Não; interpolação polinomial de grau alto é instável para extrapolação e pode gerar oscilações fora do intervalo conhecido.

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