Questão 3 Considere a transformação linear T: R^3 R^3 dada por T(x)=A x, onde A=[ccc1 & 4 & -4 3 & -3 & -2 -5 & 1 & 6]. Responda as perguntas e justifique.
a) O vetor v=[l4 2 3] pertence ao núcleo de T?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! A gente tem uma transformação linear $ T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} $ definida pela multiplicação por uma matriz $ A $. A questão é saber se o vetor $ v = T: R^3 R^3 $ está no núcleo de $ T $.
Conteúdo envolvido: Transformações lineares, núcleos de transformações lineares.
O que precisamos fazer: Calcular $ T(v) = A \cdot v $ e verificar se o resultado é o vetor zero. Se for, então $ v $ está no núcleo de $ T $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como multiplicar uma matriz por um vetor. A matriz $ A $ é:
A
E o vetor $ v $ é:
A = 1 & 4 & -4 3 & -3 & -2 -5 & 1 & 6
Para multiplicar $ A $ por $ v $, a gente faz o seguinte:
v

Passo 3

Vamos calcular cada componente passo a passo.
Primeira linha:
1 cdot 4 + 4 cdot 2 + (-4) cdot 3 = 4 + 8 - 12 = 0
Segunda linha:
3 cdot 4 + (-3) cdot 2 + (-2) cdot 3 = 12 - 6 - 6 = 0
Terceira linha:
-5 cdot 4 + 1 cdot 2 + 6 cdot 3 = -20 + 2 + 18 = 0

Passo 4

Então, juntando tudo, temos:
A cdot v = 0 0 0
Isso quer dizer que, quando aplicamos a transformação $ T $ no vetor $ v $, o resultado é o vetor zero.

Resposta

Sim, o vetor $ v = v = 4 2 3 $ pertence ao núcleo de $ T $, pois $ T(v) = A \cdot v = T $.

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