Questão 4 Dada uma matriz
, um autovetor de
é um vetor não-nulo
tal que
para algum escalar
. Um escalar
é chamado de autovalor para
se existe solução não-trivial
para a equação
; este
é chamado de autovetor associado ao autovalor
. Nas questões a seguir, considere a matriz
.
a) Para encontrar os autovalores de
, precisamos encontrar os valores de
que fazem com que
tenha soluções além da trivial. Isso equivale a encontrar os valores de
para os quais a equação
tem soluções além da trivial. Para que isso aconteça, as colunas de
devem ser linearmente dependentes, e portanto
. Determine as raízes
e
de
.
a) Para encontrar os autovalores de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada $ A $ de ordem $ n \times n $, e queremos encontrar seus autovalores. Isso envolve um pouco de álgebra linear, especificamente o conceito de determinante e como ele está relacionado aos autovalores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são autovalores e autovetores, além de saber calcular determinantes de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um autovalor $ \lambda $ de uma matriz $ A $ é aquele valor que satisfaz a equação $ A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} $, onde $ \mathbf{x} $ é um autovetor correspondente. Para encontrar esses valores $ \lambda $, a gente transforma a equação para $ (A - \lambda I) \mathbf{x} = 0 $, onde $ I $ é a matriz identidade.
Passo 3
Agora, para que essa equação tenha soluções além da trivial (ou seja, $ \mathbf{x} \neq \mathbf{0} $), o determinante da matriz $ (A - \lambda I) $ precisa ser igual a zero. Então, nossa tarefa é calcular esse determinante e resolver $ \det(A - \lambda I) = 0 $.
Passo 4
Vamos montar a matriz $ A - \lambda I $. A matriz identidade $ I $ para uma matriz $ 2 \times 2 $ é:
Então, $ \lambda I $ é:
Subtraindo $ \lambda I $ de $ A $:
Passo 5
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Vamos expandir isso:
Passo 6
Agora, temos a equação quadrática:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ \lambda $ que são os autovalores.
Passo 7
Fatorando a equação quadrática:
Então, as soluções são:
Resposta
Os autovalores da matriz $ A $ são $ \lambda_{1} = 2 $ e $ \lambda_{2} = 3 $.