Questão 4 Dada uma matriz A, n times n, um autovetor de A é um vetor não-nulo x tal que A x=lambda x para algum escalar lambda. Um escalar lambda é chamado de autovalor para A se existe solução não-trivial x para a equação A x=lambda; este x é chamado de autovetor associado ao autovalor lambda. Nas questões a seguir, considere a matriz A=[cc1 & 2 -1 & 4].
a) Para encontrar os autovalores de A, precisamos encontrar os valores de lambda que fazem com que A x=lambda x tenha soluções além da trivial. Isso equivale a encontrar os valores de lambda para os quais a equação (A-lambda I) x=0 tem soluções além da trivial. Para que isso aconteça, as colunas de A-lambda I devem ser linearmente dependentes, e portanto det(A-lambda I)=0. Determine as raízes lambda1 e lambda2 de
det[cc1-lambda & 2 -1 & 4-lambda]=0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada $ A $ de ordem $ n \times n $, e queremos encontrar seus autovalores. Isso envolve um pouco de álgebra linear, especificamente o conceito de determinante e como ele está relacionado aos autovalores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são autovalores e autovetores, além de saber calcular determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um autovalor $ \lambda $ de uma matriz $ A $ é aquele valor que satisfaz a equação $ A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} $, onde $ \mathbf{x} $ é um autovetor correspondente. Para encontrar esses valores $ \lambda $, a gente transforma a equação para $ (A - \lambda I) \mathbf{x} = 0 $, onde $ I $ é a matriz identidade.

Passo 3

Agora, para que essa equação tenha soluções além da trivial (ou seja, $ \mathbf{x} \neq \mathbf{0} $), o determinante da matriz $ (A - \lambda I) $ precisa ser igual a zero. Então, nossa tarefa é calcular esse determinante e resolver $ \det(A - \lambda I) = 0 $.

Passo 4

Vamos montar a matriz $ A - \lambda I $. A matriz identidade $ I $ para uma matriz $ 2 \times 2 $ é:
A - lambda I
Então, $ \lambda I $ é:
I
Subtraindo $ \lambda I $ de $ A $:
2 times 2

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(4 - lambda) - (-1)(2)
Vamos expandir isso:
= (1 cdot 4) - (1 cdot lambda) - (lambda cdot 4) + (lambda cdot lambda) + 2
= 4 - lambda - 4lambda + lambda^2 + 2
= lambda^2 - 5lambda + 6

Passo 6

Agora, temos a equação quadrática:
lambda^2 - 5lambda + 6 = 0
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ \lambda $ que são os autovalores.

Passo 7

Fatorando a equação quadrática:
lambda^2 - 5lambda + 6 = (lambda - 2)(lambda - 3) = 0
Então, as soluções são:
lambda - 2 = 0 Rightarrow lambda = 2
lambda - 3 = 0 Rightarrow lambda = 3

Resposta

Os autovalores da matriz $ A $ são $ \lambda_{1} = 2 $ e $ \lambda_{2} = 3 $.

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