e pede duas coisas:
(a) exibir os fatores L e U da fatoração LU de A (onde A é a matriz dos coeficientes desse sistema);
(b) exibir a solução do sistema aplicando todas as etapas da fatoração LU.
Breve explicação didática do método que vamos usar (sem pular etapas):
A fatoração LU procura matrizes \,L (triangular inferior) e \,U (triangular superior) tais que \,A=L U. Aqui usaremos a forma padrão (Doolittle) em que L tem uns na diagonal: L_{ii}=1.
A eliminação de Gauss transforma A em uma matriz triangular superior U aplicando pivôs na diagonal; os multiplicadores usados para zerar abaixo do pivô (por exemplo, para zerar a_{21} usamos l_{21}) formam as entradas de L abaixo da diagonal.
Fórmula do multiplicador na etapa k: para zerar a entrada na linha i usando a linha k,
l_{ik}=\frac{a_{ik}^{(k)}}{a_{kk}^{(k)}},
onde a_{ik}^{(k)} é a entrada atual (na matriz em andamento) da linha i, coluna k, e a_{kk}^{(k)} é o pivô.
Depois de obter A=L U, para resolver A\mathbf{x}=\mathbf{b} fazemos duas etapas:
Resolver L\mathbf{y}=\mathbf{b} por substituição progressiva (forward substitution).
Resolver U\mathbf{x}=\mathbf{y} por substituição regressiva (back substitution).
Substituição progressiva: se L é triangular inferior com L_{ii}=1,