Questão 2. Dado o sistema linear A x=b, em que A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & -1 \\\\ 2 & -1 & 1\end{array}\right), x=\left(\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right), e b=\left(\begin{array}{c}-2 \\\\ 1 \\\\ 3\end{array}\right).
(a) Resolva o sistema linear utilizando todas as etapas do processo de Eliminação de Gauss.
(b) Exiba os multiplicadores e os pivôs de cada uma das etapas do método de Eliminação de Gauss.
As perguntas são:
(a) Resolver o sistema usando todas as etapas do processo de Eliminação de Gauss (ou seja, mostrar a eliminação passo a passo e a substituição regressiva).
(b) Exibir os multiplicadores e os pivôs de cada etapa do método de Eliminação de Gauss.]
Passo 2
Breve explicação do método (fórmulas e o que cada símbolo significa) antes de aplicar:
Montamos a matriz aumentada \bigl[A\mid b\bigr] e zeramos, etapa a etapa, os elementos abaixo do pivô numa coluna, usando operações elementares do tipo R_i\leftarrow R_i - m_{i,k}R_k.
O “pivô” na etapa k é o elemento da matriz na posição (k,k) após as etapas anteriores; denote-o por p_k=a_{kk}^{(k)}. Deve ser diferente de zero para prosseguir sem pivotamento.
O “multiplicador” usado para zerar o elemento a_{ik}^{(k)} (com i>k) é
m_{i,k}=\frac{a_{i,k}^{(k)}}{p_k},
onde a_{i,k}^{(k)} é o elemento na linha i, coluna k no estado atual da matriz (após eliminações anteriores). Após calcular m_{i,k}, atualizamos a linha i por
R_i \leftarrow R_i - m_{i,k} R_k.
Depois de obter uma matriz triangular superior, resolvemos por substituição regressiva: se a última equação é \;p_n z = d_n\; então z=d_n/p_n, e assim por diante para encontrar as incógnitas anteriores.
Aqui não há mais linhas abaixo para zerar, então a eliminação direta terminou e temos um sistema triangular superior pronto para substituição regressiva.
Substituição regressiva (resolver de baixo para cima):
Equação da terceira linha:
8z = -8 \quad\Rightarrow\quad z = \frac{-8}{8} = -1.
Não há multiplicadores porque não há linhas abaixo para eliminar.
Observação: o multiplicador geral usado para eliminar a_{i,k} é m_{i,k}=\dfrac{a_{i,k}^{(k)}}{p_k}. Aqui aplicamos exatamente essa fórmula em cada etapa.