Questão 2. Dado o sistema linear A x=b, em que A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & -1 \\\\ 2 & -1 & 1\end{array}\right), x=\left(\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right), e b=\left(\begin{array}{c}-2 \\\\ 1 \\\\ 3\end{array}\right).
(a) Resolva o sistema linear utilizando todas as etapas do processo de Eliminação de Gauss.
(b) Exiba os multiplicadores e os pivôs de cada uma das etapas do método de Eliminação de Gauss.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear A x = b com
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 2 & 1 & -1 \\[4pt] 2 & -1 & 1\end{pmatrix},\qquad x=\begin{pmatrix}x \\[4pt] y \\[4pt] z\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}-2 \\[4pt] 1 \\[4pt] 3\end{pmatrix}.
As perguntas são:
(a) Resolver o sistema usando todas as etapas do processo de Eliminação de Gauss (ou seja, mostrar a eliminação passo a passo e a substituição regressiva).
(b) Exibir os multiplicadores e os pivôs de cada etapa do método de Eliminação de Gauss.]

Passo 2

Breve explicação do método (fórmulas e o que cada símbolo significa) antes de aplicar:
  • Montamos a matriz aumentada \bigl[A\mid b\bigr] e zeramos, etapa a etapa, os elementos abaixo do pivô numa coluna, usando operações elementares do tipo R_i\leftarrow R_i - m_{i,k}R_k.
  • O “pivô” na etapa k é o elemento da matriz na posição (k,k) após as etapas anteriores; denote-o por p_k=a_{kk}^{(k)}. Deve ser diferente de zero para prosseguir sem pivotamento.
  • O “multiplicador” usado para zerar o elemento a_{ik}^{(k)} (com i>k) é
m_{i,k}=\frac{a_{i,k}^{(k)}}{p_k},
onde a_{i,k}^{(k)} é o elemento na linha i, coluna k no estado atual da matriz (após eliminações anteriores). Após calcular m_{i,k}, atualizamos a linha i por
R_i \leftarrow R_i - m_{i,k} R_k.
  • Depois de obter uma matriz triangular superior, resolvemos por substituição regressiva: se a última equação é \;p_n z = d_n\; então z=d_n/p_n, e assim por diante para encontrar as incógnitas anteriores.
Agora aplicamos essas fórmulas ao sistema dado.

Passo 3

Montagem inicial da matriz aumentada:
\bigl[A\mid b\bigr]= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \vline & -2\\[4pt] 2 & 1 & -1 & \vline & 1\\[4pt] 2 & -1 & 1 & \vline & 3 \end{pmatrix}.
Etapa 1 (coluna 1, k=1): o pivô é
p_1 = a_{11}=1.
Calculamos os multiplicadores para zerar as entradas abaixo do pivô:
m_{21}=\frac{a_{21}}{p_1}=\frac{2}{1}=2,\qquad m_{31}=\frac{a_{31}}{p_1}=\frac{2}{1}=2.
Aplicamos as operações R_2\leftarrow R_2 - m_{21}R_1 e R_3\leftarrow R_3 - m_{31}R_1. Faço cada componente explicitamente:
Para R_2:
\begin{aligned} \text{nova }a_{21}&=2-2\cdot 1=0,\\[4pt] \text{nova }a_{22}&=1-2\cdot 1=-1,\\[4pt] \text{nova }a_{23}&=-1-2\cdot 1=-3,\\[4pt] \text{novo }b_2&=1-2\cdot(-2)=1+4=5. \end{aligned}
Para R_3:
\begin{aligned} \text{nova }a_{31}&=2-2\cdot 1=0,\\[4pt] \text{nova }a_{32}&=-1-2\cdot 1=-3,\\[4pt] \text{nova }a_{33}&=1-2\cdot 1=-1,\\[4pt] \text{novo }b_3&=3-2\cdot(-2)=3+4=7. \end{aligned}
A matriz aumentada após a primeira etapa fica:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \vline & -2\\[4pt] 0 & -1 & -3 & \vline & 5\\[4pt] 0 & -3 & -1 & \vline & 7 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Etapa 2 (coluna 2, k=2): o pivô agora é o elemento na posição (2,2) da matriz atual:
p_2 = a_{22}^{(2)} = -1.
Calculamos o multiplicador para zerar o elemento abaixo do pivô na coluna 2:
m_{32}=\frac{a_{32}^{(2)}}{p_2}=\frac{-3}{-1}=3.
Aplicamos R_3\leftarrow R_3 - m_{32}R_2. Faço componente a componente:
Para R_3:
\begin{aligned} \text{nova }a_{31}&=0-3\cdot 0=0,\\[4pt] \text{nova }a_{32}&=-3-3\cdot(-1)=-3+3=0,\\[4pt] \text{nova }a_{33}&=-1-3\cdot(-3)=-1+9=8,\\[4pt] \text{novo }b_3&=7-3\cdot 5=7-15=-8. \end{aligned}
A matriz aumentada após a segunda etapa (triangular superior) é:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \vline & -2\\[4pt] 0 & -1 & -3 & \vline & 5\\[4pt] 0 & 0 & 8 & \vline & -8 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Etapa 3 (coluna 3, k=3): o pivô é
p_3 = a_{33}^{(3)} = 8.
Aqui não há mais linhas abaixo para zerar, então a eliminação direta terminou e temos um sistema triangular superior pronto para substituição regressiva.
Substituição regressiva (resolver de baixo para cima):
Equação da terceira linha:
8z = -8 \quad\Rightarrow\quad z = \frac{-8}{8} = -1.
Equação da segunda linha:
-1\cdot y + (-3)\cdot z = 5.
Substituindo z=-1:
-y -3(-1) = 5 \quad\Rightarrow\quad -y +3 = 5 \quad\Rightarrow\quad -y = 2 \quad\Rightarrow\quad y = -2.
Equação da primeira linha:
x + y + z = -2.
Substituindo y=-2 e z=-1:
x + (-2) + (-1) = -2 \quad\Rightarrow\quad x -3 = -2 \quad\Rightarrow\quad x = 1.
Portanto a solução encontrada é x=1,\; y=-2,\; z=-1.

Passo 6

Resumo didático sobre multiplicadores e pivôs usados em cada etapa (explicando o que são e mostrando os valores calculados):
  • Etapa 1 (usar p_1=a_{11}):
    • Pivô: p_1 = a_{11} = 1.
    • Multiplicadores aplicados: m_{21}=2 (para zerar a_{21}), m_{31}=2 (para zerar a_{31}).
    • Operações: R_2\leftarrow R_2 - 2R_1,\; R_3\leftarrow R_3 - 2R_1.
  • Etapa 2 (usar p_2=a_{22}^{(2)}, elemento (2,2) após etapa 1):
    • Pivô: p_2 = a_{22}^{(2)} = -1.
    • Multiplicador aplicado: m_{32}=3 (para zerar a_{32}^{(2)}).
    • Operação: R_3\leftarrow R_3 - 3R_2.
  • Etapa 3:
    • Pivô: p_3 = a_{33}^{(3)} = 8.
    • Não há multiplicadores porque não há linhas abaixo para eliminar.
Observação: o multiplicador geral usado para eliminar a_{i,k} é m_{i,k}=\dfrac{a_{i,k}^{(k)}}{p_k}. Aqui aplicamos exatamente essa fórmula em cada etapa.

Resposta

(a) \displaystyle \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]-1\end{pmatrix}
(b) Etapa 1: pivô p_1=1, multiplicadores m_{21}=2,\; m_{31}=2.
Etapa 2: pivô p_2=-1, multiplicador m_{32}=3.
Etapa 3: pivô p_3=8 (sem multiplicadores abaixo).]

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