Questão 2 Resolver os sistemas a seguir pelo método da eliminação de Gaus, com a estratégia indicada, e verificar a exatidão da solução.
a) Efetuar os cálculos utilizando apenas quatro casas decimais
\left[\begin{array}{rrr} 2 & 6 & -3 \\\\ 1 & 3,0001 & 2 \\\\ 4 & -1 & 9 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} 17 \\\\ -2 \\\\ 24 \end{array}\right] .
i) sem pivoteamento;
ii) com pivoteamento parcial.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{pmatrix} 2 & 6 & -3\\\\ 1 & 3.0001 & 2\\\\ 4 & -1 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}17\\\ -2\\\ 24\end{pmatrix},
e pede a solução pelo método de eliminação de Gauss (i) sem pivoteamento e (ii) com pivoteamento parcial. Todos os cálculos devem ser arredondados a quatro casas decimais. Depois disso, vamos verificar a exatidão da solução calculando o resíduo r = A\,x - b.

Passo 2

Eliminação sem pivoteamento
  1. Multiplicadores da coluna 1:
L_{21} = \frac{1}{2} = 0.5000,\quad L_{31} = \frac{4}{2} = 2.0000.
  1. Atualizando linhas 2 e 3 e arredondando:
    linha 2 \gets linha 2 -L_{21}\timeslinha 1
a_{22} = 3.0001 - 0.5000\cdot 6 = 0.0001,\quad a_{23} = 2.0000 - 0.5000\cdot(-3) = 3.5000,\quad b_{2} = -2.0000 - 0.5000\cdot 17 = -10.5000.
linha 3 \gets linha 3 -L_{31}\timeslinha 1
a_{32} = -1.0000 - 2.0000\cdot 6 = -13.0000,\quad a_{33} = 9.0000 - 2.0000\cdot(-3) = 15.0000,\quad b_{3} = 24.0000 - 2.0000\cdot 17 = -10.0000.
  1. Multiplicador da coluna 2 na linha 3:
L_{32} = \frac{-13.0000}{0.0001} = -130000.0000.
  1. Atualizando linha 3 e arredondando:
a_{33} = 15.0000 - (-130000.0000)\cdot 3.5000 = 455015.0000,\quad b_{3} = -10.0000 - (-130000.0000)\cdot(-10.5000) = -1365010.0000.

Passo 3

Substituição reversa (sem pivoteamento)
x_{3} = \frac{-1365010.0000}{455015.0000} \approx -2.9999,
x_{2} = \frac{-10.5000 - 3.5000\cdot(-2.9999)}{0.0001} = \frac{-10.5000 +10.4997}{0.0001} = -3.5000,
x_{1} = \frac{17 - 6\cdot(-3.5000) +3\cdot(-2.9999)}{2} = \frac{17 +21 -8.9997}{2} = 14.5002.

Passo 4

Verificação do resíduo (sem pivoteamento)
r = A\,x - b \quad\Longrightarrow\quad r \approx \begin{pmatrix} 0.0001\\\\ 0.0000\\\\ 10.5017 \end{pmatrix},
que mostra erro grande na terceira equação.

Passo 5

Eliminação com pivoteamento parcial
  1. Coluna 1: maior pivô em valor absoluto é 4 (linha 3). Troca-se linha 1↔linha 3.
    Nova linha 1: (4,\,-1,\,9\mid24), linha 2 e 3 originais mantêm-se depois da troca de posição.
  2. Multiplicadores col 1 após troca:
L_{21} = \frac{1}{4} = 0.2500,\quad L_{31} = \frac{2}{4} = 0.5000
Atualizando linhas 2 e 3:
linha 2:
a_{22} = 3.0001 -0.2500\cdot(-1)=3.2501,\quad a_{23} = 2.0000 -0.2500\cdot 9 = -0.2500,\quad b_{2} = -2.0000 -0.2500\cdot 24 = -8.0000.
linha 3:
a_{32} = 6.0000 -0.5000\cdot(-1)=6.5000,\quad a_{33} = -3.0000 -0.5000\cdot 9 = -7.5000,\quad b_{3} = 17.0000 -0.5000\cdot 24 = 5.0000.
  1. Coluna 2: entre as novas linhas 2 e 3, |6.5000|>|3.2501|, logo troca-se linha 2↔linha 3.
  2. Multiplicador col 2 na nova linha 3:
L_{32} = \frac{3.2501}{6.5000} = 0.5000.
Atualizando linha 3:
a_{33} = -0.2500 -0.5000\cdot(-7.5000) = 3.5000,\quad b_{3} = -8.0000 -0.5000\cdot 5.0000 = -10.5000.

Passo 6

Substituição reversa (com pivoteamento)
x_{3} = \frac{-10.5000}{3.5000} = -3.0000,
x_{2} = \frac{5.0000 - (-7.5000)\cdot(-3.0000)}{6.5000} = \frac{5.0000 -22.5000}{6.5000} = -2.6923,
x_{1} = \frac{24 + x_{2} -9\,x_{3}}{4} = \frac{24 -2.6923 +27}{4} = 12.0769.

Passo 7

Verificação do resíduo (com pivoteamento)
r = A\,x - b \quad\Longrightarrow\quad r \approx \begin{pmatrix} 0.0000\\\\ 0.0000\\\\ 0.0000 \end{pmatrix},
mostrando solução consistente dentro do arredondamento.

Resposta

Sem pivoteamento:
x_{1}=14.5002,\quad x_{2}=-3.5000,\quad x_{3}=-2.9999,
resíduo r\approx(0.0001,0.0000,10.5017)^{T}.
Com pivoteamento parcial:
x_{1}=12.0769,\quad x_{2}=-2.6923,\quad x_{3}=-3.0000,
resíduo r\approx(0,0,0)^{T}.

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