Usando o método da bissecção aproximar a raiz das equações considerando \varepsilon \leq 10^{-2} :
f(x)=x-2 \cos x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar, pelo método da bissecção, a raiz de
f(x)=x-2\cos x
com erro máximo \varepsilon\le10^{-2}. Vamos usar a teoria de bissecção, que exige um intervalo [a,b] com f(a)f(b)<0 e o critério de parada
\frac{b-a}{2}\le\varepsilon.

Passo 2

Procuramos [a,b] tal que f(a) e f(b) tenham sinais opostos.
Calculemos
f(0)=0-2\cos0=-2<0,
f\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr)=\tfrac{\pi}{2}-2\cos\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) =\tfrac{\pi}{2}-0>0.
Logo podemos tomar a=0 e b=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

O número mínimo de iterações N para atingir \,(b-a)/2\le\varepsilon é
N\ge\log_{2}\frac{b-a}{\varepsilon} =\log_{2}\frac{\pi/2}{10^{-2}}\approx7{,}3,
ou seja, precisamos de pelo menos 8 iterações (mas veremos que 7 são suficientes para \tfrac{b-a}{2}\le0{,}01).

Passo 4

Aplicando a bissecção em [0,1{,}5708] com \varepsilon=0{,}01, obtemos:
Iter a b c=(a+b)/2 f\text{(c)} (b-a)/2
1 0,0000 1,5708 0,7854 -0{,}6288 0,7854
2 0,7854 1,5708 1,1781 +0{,}4127 0,3927
3 0,7854 1,1781 0,9817 -0{,}1294 0,1963
4 0,9817 1,1781 1,0799 +0{,}1429 0,0982
5 0,9817 1,0799 1,0308 +0{,}0019 0,0491
6 0,9817 1,0308 1,0063 -0{,}0603 0,0245
7 1,0063 1,0308 1,0186 -0{,}0297 0,0122
Após a 7ª iteração temos
\frac{b-a}{2}=0{,}0061\le0{,}01,
portanto a condição de parada está satisfeita.

Resposta

A raiz aproximada é
x\approx1{,}0186\approx1{,}02
com erro menor que 10^{-2}.

Exercícios relacionados