Resolva os seguintes sistemas, usando o método de Gauss
\left\{\begin{array}{l}2 x+3 y+z+w=10 \\\ x+y+3 z+2 w=6 \\\ x+y+z+w=-5 \\\\ 5 x+y+z+3 w=15\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: resolver o sistema linear e encontrar os valores de x, y, z e w.
O sistema dado é
\left\{\begin{array}{l} 2x+3y+z+w=10,\\[4pt] x+y+3z+2w=6,\\[4pt] x+y+z+w=-5,\\[4pt] 5x+y+z+3w=15. \end{array}\right.
Informações relevantes fornecidas:
  • São quatro equações lineares em quatro incógnitas x,y,z,w.
  • Vou usar o método de eliminação de Gauss (transformar em matriz aumentada e aplicar operações elementares de linhas) para triangularizar a matriz e depois fazer substituição regressiva.]

Passo 2

Breve explicação do método (passo-a-passo do que vou aplicar):
  • Represento o sistema pela matriz aumentada [A|\mathbf b], onde A é a matriz dos coeficientes e \mathbf b o vetor dos termos constantes.
  • Operações elementares permitidas nas linhas (que não mudam a solução): trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar a múltipla de uma linha a outra.
  • O objetivo é obter uma matriz triangular superior (zeros abaixo dos pivôs) e então resolver por substituição regressiva.
Matriz aumentada inicial (peguei os coeficientes e os termos constantes do enunciado):
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 3 & 1 & 1 & 10\\[4pt] 1 & 1 & 3 & 2 & 6\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 1 & -5\\[4pt] 5 & 1 & 1 & 3 & 15 \end{array}\right].]

Passo 3

Escolha do pivô e simplificação inicial:
  • É conveniente ter um pivô 1 na primeira linha para facilitar eliminações. Troco a linha 1 com a linha 2.
Operação: R_1 \leftrightarrow R_2.
Matriz após a troca:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 3 & 2 & 6\\[4pt] 2 & 3 & 1 & 1 & 10\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 1 & -5\\[4pt] 5 & 1 & 1 & 3 & 15 \end{array}\right].]

Passo 4

Eliminar a primeira coluna ( x) nas linhas 2, 3 e 4 usando R_1 como pivô.
Operações:
\begin{aligned} R_2 &\leftarrow R_2 - 2R_1,\\[4pt] R_3 &\leftarrow R_3 - R_1,\\[4pt] R_4 &\leftarrow R_4 - 5R_1. \end{aligned}
Cálculos linha a linha (mostrando os resultados):
  • R_2: [2-2\cdot1,\;3-2\cdot1,\;1-2\cdot3,\;1-2\cdot2\;|\;10-2\cdot6] = [0,\;1,\;-5,\;-3\;|\;-2].
  • R_3: [1-1,\;1-1,\;1-3,\;1-2\;|\;-5-6] = [0,\;0,\;-2,\;-1\;|\;-11].
  • R_4: [5-5,\;1-5,\;1-15,\;3-10\;|\;15-30] = [0,\;-4,\;-14,\;-7\;|\;-15].
Matriz resultante:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 3 & 2 & 6\\[4pt] 0 & 1 & -5 & -3 & -2\\[4pt] 0 & 0 & -2 & -1 & -11\\[4pt] 0 & -4 & -14 & -7 & -15 \end{array}\right].]

Passo 5

Usar R_2 (pivô em y, que já é 1) para zerar a coluna y em R_1 e R_4.
Operações:
\begin{aligned} R_1 &\leftarrow R_1 - R_2,\\[4pt] R_4 &\leftarrow R_4 + 4R_2. \end{aligned}
Cálculos:
  • R_1: [1-0,\;1-1,\;3-(-5),\;2-(-3)\;|\;6-(-2)] = [1,\;0,\;8,\;5\;|\;8].
  • R_4: [0+0,\;-4+4\cdot1,\;-14+4\cdot(-5),\;-7+4\cdot(-3)\;|\;-15+4\cdot(-2)] = [0,\;0,\;-34,\;-19\;|\;-23].
Matriz agora:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 8 & 5 & 8\\[4pt] 0 & 1 & -5 & -3 & -2\\[4pt] 0 & 0 & -2 & -1 & -11\\[4pt] 0 & 0 & -34 & -19 & -23 \end{array}\right].]

Passo 6

Eliminar o coeficiente em z da linha 4 usando a linha 3. Observação didática: R_3 tem coeficiente -2 para z e R_4 tem -34 — note que -34 = 17\cdot(-2). Então podemos fazer R_4 \leftarrow R_4 - 17R_3 para zerar perfeitamente o termo em z e evitar frações.
Operação:
R_4 \leftarrow R_4 - 17R_3.
Cálculo:
  • Para z: -34 - 17\cdot(-2) = -34 +34 = 0.
  • Para w: -19 - 17\cdot(-1) = -19 +17 = -2.
  • Para RHS: -23 - 17\cdot(-11) = -23 +187 = 164.
Nova R_4 = [0,\;0,\;0,\;-2\;|\;164].
Matriz agora triangular superior:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 8 & 5 & 8\\[4pt] 0 & 1 & -5 & -3 & -2\\[4pt] 0 & 0 & -2 & -1 & -11\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -2 & 164 \end{array}\right].]

Passo 7

Resolver a última equação (linha 4) para w. A equação correspondente é -2w = 164.
Resolvendo:
-2w = 164 \quad\Rightarrow\quad w = \frac{164}{-2} = -82.

Passo 8

Substituição regressiva para encontrar z usando a linha 3. A linha 3 representa -2z - w = -11 (porque os coeficientes são [0,0,-2,-1|\,-11]).
Coloco w=-82 e resolvo:
-2z - w = -11 \quad\Rightarrow\quad -2z - (-82) = -11.
-2z +82 = -11 \quad\Rightarrow\quad -2z = -93 \quad\Rightarrow\quad z = \frac{-93}{-2} = \frac{93}{2}.
Portanto z = \dfrac{93}{2}.

Passo 9

Agora encontro y usando a linha 2. A linha 2 representa y -5z -3w = -2.
Substituo z=\dfrac{93}{2} e w=-82:
y - 5\left(\frac{93}{2}\right) - 3(-82) = -2.
Calculo passo a passo:
-5\cdot\frac{93}{2} = -\frac{465}{2},\qquad -3(-82)=246.
y - \frac{465}{2} + 246 = -2.
Escrevo 246 como fração com denominador 2: 246 = \dfrac{492}{2}. Então
y + \left(-\frac{465}{2} + \frac{492}{2}\right) = -2 \quad\Rightarrow\quad y + \frac{27}{2} = -2.
y = -2 - \frac{27}{2} = -\frac{4}{2} - \frac{27}{2} = -\frac{31}{2}.
Assim y = -\dfrac{31}{2}.

Passo 10

Finalmente, encontro x usando a linha 1: x + 8z + 5w = 8.
Substituo z=\dfrac{93}{2} e w=-82:
x + 8\left(\frac{93}{2}\right) + 5(-82) = 8.
Calculo:
8\cdot\frac{93}{2} = 4\cdot93 = 372,\qquad 5\cdot(-82) = -410.
x + 372 - 410 = 8 \quad\Rightarrow\quad x - 38 = 8 \quad\Rightarrow\quad x = 46.
Portanto x = 46.

Resposta

x=46
y=-\dfrac{31}{2}
z=\dfrac{93}{2}
w=-82

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