Um reservatório possui 100 litros de uma solução contendo 30 g de sal. Água (sem sal) entra no tanque com uma vazão de 6 L / min e a mistura escoa a 4 L / min, considerando que a concentração se mantém uniforme por agitação.
a) Determine uma expressão para a quantidade e para a concentração de sal no tanque em um tempo t qualquer.

Passo 1

O enunciado diz que temos um tanque com 100 L de solução que contém 30 g de sal. Entra água pura a 6 L/min e sai mistura a 4 L/min, sempre bem agitada (concentração uniforme).
Conteúdo: equações diferenciais de mistura (EDO separável).
O que vamos precisar:
  • Escrever a variação do volume no tanque.
  • Montar a EDO para a quantidade de sal.
  • Resolver por variáveis separáveis e aplicar a condição inicial.
  • Calcular a concentração dividindo a quantidade pelo volume.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o volume no tanque em função do tempo, V(t).
Como entra 6 L/min e sai 4 L/min, o volume cresce a
dVdt = 6 - 4 = 2 (L/min)
Integrando isso e usando V(0)=100 L, dá
V(t) = 100 + 2t (L)

Passo 3

Agora, seja y(t) a quantidade de sal (em gramas) no tanque no tempo t.
  • Taxa de entrada de sal é zero (água pura).
  • Taxa de saída de sal = concentração no tanque times vazão de saída = l(y/V(t)r)times 4.
    Logo, a EDO fica
dydt = 0 - 4,yV(t) = -4,y100+2t

Passo 4

Resolvendo por variáveis separáveis:
dyy = -4,dt100+2t
Integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = -4integral 1100+2t,dt Longrightarrow ln|y| = -4cdot12ln(100+2t) + C
ln y = -2ln(100+2t) + C Longrightarrow y(t) = C',(100+2t)^-2
Usando y(0)=30 g:
30 = C'cdot100^-2 ;Longrightarrow; C' = 30cdot100^2 = 300,000
Então
boxedy(t) = 300,000(100+2t)^2(g de sal)

Passo 5

Para achar a concentração c(t) (em g/L), dividimos y(t) por V(t):
c(t) = y(t)V(t) = 300,000/(100+2t)^2100+2t = 300,000(100+2t)^3(g/L)

Resposta

Quantidade de sal:
y(t) = 300,000(100+2t)^2(g)
Concentração de sal:
c(t) = 300,000(100+2t)^3(g/L)

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