Um reservatório possui 100 litros de uma solução contendo 30 g de sal. Água (sem sal) entra no tanque com uma vazão de
e a mistura escoa a
, considerando que a concentração se mantém uniforme por agitação.
a) Determine uma expressão para a quantidade e para a concentração de sal no tanque em um tempo
qualquer.
a) Determine uma expressão para a quantidade e para a concentração de sal no tanque em um tempo
Passo 1
O enunciado diz que temos um tanque com 100 L de solução que contém 30 g de sal. Entra água pura a 6 L/min e sai mistura a 4 L/min, sempre bem agitada (concentração uniforme).
Conteúdo: equações diferenciais de mistura (EDO separável).
O que vamos precisar:
Conteúdo: equações diferenciais de mistura (EDO separável).
O que vamos precisar:
- Escrever a variação do volume no tanque.
- Montar a EDO para a quantidade de sal.
- Resolver por variáveis separáveis e aplicar a condição inicial.
- Calcular a concentração dividindo a quantidade pelo volume.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o volume no tanque em função do tempo,
.
Como entra 6 L/min e sai 4 L/min, o volume cresce a
Como entra 6 L/min e sai 4 L/min, o volume cresce a
Integrando isso e usando
L, dá
Passo 3
Agora, seja
a quantidade de sal (em gramas) no tanque no tempo
.
- Taxa de entrada de sal é zero (água pura).
- Taxa de saída de sal = concentração no tanque
vazão de saída = .
Logo, a EDO fica
Passo 4
Resolvendo por variáveis separáveis:
Integramos ambos os lados:
Usando
g:
Então
Passo 5
Para achar a concentração
(em g/L), dividimos
por
:
Resposta
Quantidade de sal:
Concentração de sal: