As incógnitas são \\ x_{0}, x_{1}, x_{2}. Nosso objetivo final é encontrar os valores de \\ x_{0}, x_{1}, x_{2} que satisfazem essa igualdade.]
Passo 2
Idéia da fatoração (explicação didática do procedimento usado): vamos escrever A como produto de uma matriz triangular inferior L por sua transposta, isto é
A = L\,L^{T},
onde L é uma matriz triangular inferior com entradas l_{ij} (com l_{ij}=0 para j>i). Essa fatoração é chamada fatoração de Cholesky. Depois, para resolver A x = b fazemos duas etapas:
resolver L\,y = b por substituição direta (forward substitution) para obter y;
resolver L^{T} x = y por substituição retroativa (back substitution) para obter x.
Fórmulas práticas para construir L (passo a passo):
Para cada linha/coluna i (indexando de 1 a n):l_{ii} = \sqrt{a_{ii} - \sum_{k=1}^{i-1} l_{ik}^{2}}onde a_{ii} é o elemento da diagonal de A.
Para cada j>i (entradas abaixo da diagonal):l_{j i} = \frac{ a_{j i} - \sum_{k=1}^{i-1} l_{j k}\,l_{i k} }{l_{ii}}.
Aqui a_{ji} é o elemento da matriz A na linha j, coluna i. Vou aplicar essas fórmulas para n=3 (nossa matriz 3×3). Vou indexar as linhas/colunas como 1,2,3, correspondendo respectivamente às incógnitas \\ x_{0},x_{1},x_{2}.
Passo 3
Calcular l_{11}, l_{21}, l_{31} (primeira coluna de L):
l_{11} = \sqrt{a_{11}} = \sqrt{1} = 1.
l_{21} = \dfrac{a_{21}}{l_{11}} = \dfrac{2}{1} = 2. (aqui a soma no numerador é vazia porque i=1)
Se você multiplicar L\,L^{T} (cheque rápido), verá que recuperamos A. Isso serve como verificação do cálculo.]
Passo 6
Resolver L\,y = b\) por substituição direta (explicando o método): para uma matriz triangular inferior, resolvemos as equações na ordem de cima para baixo. As equações são
\[\begin{cases} l_{11}\,y_{1} = b_{1},\\[4pt] l_{21}\,y_{1} + l_{22}\,y_{2} = b_{2},\\[4pt] l_{31}\,y_{1} + l_{32}\,y_{2} + l_{33}\,y_{3} = b_{3}. \end{cases}
Substituindo valores de L\] e \(b:
Primeira equação: 1\cdot y_{1} = 1 \Rightarrow y_{1} = 1.
y = \begin{pmatrix} 1 \\[4pt] 0 \\[4pt] -1 \end{pmatrix}.]
Passo 7
Resolver L^{T} x = y\) por substituição retroativa (explicando o método): \(L^{T}\) é triangular superior, então resolvemos de baixo para cima. Escrevendo as equações (onde \(L^{T}\) tem linhas):
\[\begin{cases} l_{11}\,x_{0} + l_{21}\,x_{1} + l_{31}\,x_{2} = y_{1},\\[4pt] l_{22}\,x_{1} + l_{32}\,x_{2} = y_{2},\\[4pt] l_{33}\,x_{2} = y_{3}. \end{cases}
Usando L\] encontrado (observe que os \(l_{ij} aparecem em L^{T} nas posições transpostas) e o vetor y: