Questão 5. Resolva o sistema abaixo usando a fatoração de Cholesky:
\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 2 \\\\ 2 & 5 & 6 \\\\ 2 & 6 & 9 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{0} \\\ x_{1} \\\ x_{2} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 2 \\\\ 1 \end{array}\right] .

Passo 1

O enunciado pede que resolvamos o sistema linear A x = b onde as informações dadas são:
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\[4pt] 2 & 5 & 6\\[4pt] 2 & 6 & 9 \end{pmatrix},\qquad x = \begin{pmatrix} x_{0} \\[4pt] x_{1} \\[4pt] x_{2} \end{pmatrix},\qquad b = \begin{pmatrix} 1 \\[4pt] 2 \\[4pt] 1 \end{pmatrix}.
As incógnitas são \\ x_{0}, x_{1}, x_{2}. Nosso objetivo final é encontrar os valores de \\ x_{0}, x_{1}, x_{2} que satisfazem essa igualdade.]

Passo 2

Idéia da fatoração (explicação didática do procedimento usado): vamos escrever A como produto de uma matriz triangular inferior L por sua transposta, isto é
A = L\,L^{T},
onde L é uma matriz triangular inferior com entradas l_{ij} (com l_{ij}=0 para j>i). Essa fatoração é chamada fatoração de Cholesky. Depois, para resolver A x = b fazemos duas etapas:
  1. resolver L\,y = b por substituição direta (forward substitution) para obter y;
  2. resolver L^{T} x = y por substituição retroativa (back substitution) para obter x.
Fórmulas práticas para construir L (passo a passo):
  • Para cada linha/coluna i (indexando de 1 a n): l_{ii} = \sqrt{a_{ii} - \sum_{k=1}^{i-1} l_{ik}^{2}}onde a_{ii} é o elemento da diagonal de A.
  • Para cada j>i (entradas abaixo da diagonal): l_{j i} = \frac{ a_{j i} - \sum_{k=1}^{i-1} l_{j k}\,l_{i k} }{l_{ii}}.
Aqui a_{ji} é o elemento da matriz A na linha j, coluna i. Vou aplicar essas fórmulas para n=3 (nossa matriz 3×3). Vou indexar as linhas/colunas como 1,2,3, correspondendo respectivamente às incógnitas \\ x_{0},x_{1},x_{2}.

Passo 3

Calcular l_{11}, l_{21}, l_{31} (primeira coluna de L):
  • l_{11} = \sqrt{a_{11}} = \sqrt{1} = 1.
  • l_{21} = \dfrac{a_{21}}{l_{11}} = \dfrac{2}{1} = 2. (aqui a soma no numerador é vazia porque i=1)
  • l_{31} = \dfrac{a_{31}}{l_{11}} = \dfrac{2}{1} = 2.
Portanto, até agora a primeira coluna de L é \begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular l_{22} (diagonal na segunda linha) usando a fórmula de l_{ii}:
l_{22} = \sqrt{a_{22} - l_{21}^{2}} = \sqrt{5 - 2^{2}} = \sqrt{5 - 4} = \sqrt{1} = 1.
Agora calcular l_{32} (entrada abaixo da diagonal na coluna 2):
l_{32} = \frac{a_{32} - l_{31}\,l_{21}}{l_{22}} = \frac{6 - (2)(2)}{1} = \frac{6 - 4}{1} = 2.

Passo 5

Calcular l_{33} (última diagonal):
l_{33} = \sqrt{a_{33} - l_{31}^{2} - l_{32}^{2}} = \sqrt{9 - 2^{2} - 2^{2}} = \sqrt{9 - 4 - 4} = \sqrt{1} = 1.
Agora conhecemos todas as entradas de L. Escrevemos L:
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Se você multiplicar L\,L^{T} (cheque rápido), verá que recuperamos A. Isso serve como verificação do cálculo.]

Passo 6

Resolver L\,y = b\) por substituição direta (explicando o método): para uma matriz triangular inferior, resolvemos as equações na ordem de cima para baixo. As equações são \[\begin{cases} l_{11}\,y_{1} = b_{1},\\[4pt] l_{21}\,y_{1} + l_{22}\,y_{2} = b_{2},\\[4pt] l_{31}\,y_{1} + l_{32}\,y_{2} + l_{33}\,y_{3} = b_{3}. \end{cases}
Substituindo valores de L\] e \(b:
  • Primeira equação: 1\cdot y_{1} = 1 \Rightarrow y_{1} = 1.
  • Segunda equação: 2\cdot y_{1} + 1\cdot y_{2} = 2 \Rightarrow 2\cdot 1 + y_{2} = 2 \Rightarrow y_{2} = 0.
  • Terceira equação: 2\cdot y_{1} + 2\cdot y_{2} + 1\cdot y_{3} = 1 \Rightarrow 2\cdot 1 + 2\cdot 0 + y_{3} = 1 \Rightarrow y_{3} = 1 - 2 = -1.
Logo
y = \begin{pmatrix} 1 \\[4pt] 0 \\[4pt] -1 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Resolver L^{T} x = y\) por substituição retroativa (explicando o método): \(L^{T}\) é triangular superior, então resolvemos de baixo para cima. Escrevendo as equações (onde \(L^{T}\) tem linhas): \[\begin{cases} l_{11}\,x_{0} + l_{21}\,x_{1} + l_{31}\,x_{2} = y_{1},\\[4pt] l_{22}\,x_{1} + l_{32}\,x_{2} = y_{2},\\[4pt] l_{33}\,x_{2} = y_{3}. \end{cases}
Usando L\] encontrado (observe que os \(l_{ij} aparecem em L^{T} nas posições transpostas) e o vetor y:
  • Última equação (baixando primeiro): 1\cdot x_{2} = y_{3} = -1 \Rightarrow x_{2} = -1.
  • Segunda equação: 1\cdot x_{1} + 2\cdot x_{2} = 0 \Rightarrow x_{1} + 2(-1) = 0 \Rightarrow x_{1} -2 =0 \Rightarrow x_{1} = 2.
  • Primeira equação: 1\cdot x_{0} + 2\cdot x_{1} + 2\cdot x_{2} = 1 \Rightarrow x_{0} + 2(2) + 2(-1) = 1 \Rightarrow x_{0} +4 -2 = 1 \Rightarrow x_{0} +2 =1 \Rightarrow x_{0} = -1.
Portanto
x = \begin{pmatrix} -1 \\[4pt] 2 \\[4pt] -1 \end{pmatrix}.]

Resposta

x_{0}=-1
x_{1}=2
x_{2}=-1

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