Questão 3. Um instituto de pesquisa pretende avaliar a proporção de eleitores que votarão em determinado candidato, com 95 % de confiança de que não errará por mais de 2,5 %. Para isto levantou uma pré - amostra de 100 eleitores selecionados ao acaso na população. A proporção de eleitores deste candidato foi de 30 %. Determine o tamanho da amostra necessário para atingir a precisão desejada.

Passo 1

O enunciado pede o tamanho de amostra n para estimar uma proporção com nível de confiança de 95% e erro máximo de 2,5%. Foi obtida de uma pré-amostra de 100 eleitores a estimativa hat p=0,30. Para resolver usamos a fórmula do intervalo de confiança para proporção em população grande.

Passo 2

A margem de erro E de um intervalo de confiança para proporção é dada por\r
E = zalpha/2,raizp(1-p)n \r
Queremos que E=0,025. Logo, isolando n na fórmula, temos\r
n = zalpha/2^2,p(1-p)E^2

Passo 3

Para 95% de confiança, alpha=0,05 e zalpha/2=z0,975=1,96. Substituindo p=hat p=0,30 e E=0,025 na expressão de n:
n = (1,96)^2 times 0,30 times 0,70(0,025)^2 = 3,8416 times 0,210,000625 approx 1290,78

Passo 4

Como o tamanho de amostra deve ser inteiro e para garantir a precisão, arredondamos para cima:\r
n = 1291

Resposta

É necessário entrevistar 1291 eleitores para obter o erro máximo de 2,5% com 95% de confiança.

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