Durante três dias consecutivos foi tomada a temperatura ( \mathrm{em}^{\circ} \mathrm{C} ) numa região de uma cidade, por quatro vezes no período das 6 às 12 horas. Usando o polinômio interpolador de Gregory-Newton determine a temperatura:
a) no terceiro dia as 11 horas
b) média nos três dias às 11 horas.
\begin{tabular}{c|c|c|c}
\hline \multirow{2}{*}{ Horas } & \multicolumn{3}{|c}{ Dias }
\cline { 2 - 4 } & 1 & 2 & 3
\hline 6 & 18 & 17 & 18
8 & 20 & 20 & 21
10 & 24 & 25 & 22
12 & 28 & 27 & 23
\hline
Passo 1
O enunciado dá medições de temperatura (em graus Celsius) em três dias, nas horas 6, 8, 10 e 12. Ele pede duas coisas:
a) a temperatura no terceiro dia às 11 horas;
b) a média das temperaturas nos três dias às 11 horas.
Vou interpolar usando o polinômio de Gregory–Newton (diferenças finitas) e então responder (a) e (b). A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
O método de Gregory–Newton (Newton para nós, com diferenças finitas) funciona bem quando os pontos têm abscissas igualmente espaçadas, como aqui: 6,8,10,12 têm passo h=2 horas. A ideia:
Definimos x_0 (o nó inicial onde calculamos as diferenças) e u=\dfrac{x-x_0}{h}.
Construímos as diferenças progressivas \Delta f, \Delta^2 f, \Delta^3 f a partir dos valores tabulados.
Explico as variáveis: f(x_0) é o valor no primeiro nó, \Delta f(x_0) é a primeira diferença a partir de x_0, \Delta^2 f(x_0) é a diferença da diferença, etc. O termo u é adimensional e mede quantos passos h estamos afastados de x_0.
Vou usar como x_0=6 (o primeiro ponto) para manter a construção da tabela simples e uniforme. Para x=11 temos
u=\frac{11-6}{2}=2{,}5.
Em cada dia faço a tabela de diferenças a partir de x_0=6 e aplico a fórmula acima.
Passo 3
Construção das diferenças para o Dia 1 (valores extraídos da tabela):