QUESTÃO 6 - Interpolador de Gregory-Newton

Durante três dias consecutivos foi tomada a temperatura ( \mathrm{em}^{\circ} \mathrm{C} ) numa região de uma cidade, por quatro vezes no período das 6 às 12 horas. Usando o polinômio interpolador de Gregory-Newton determine a temperatura:
a) no terceiro dia as 11 horas
b) média nos três dias às 11 horas.
\begin{tabular}{c|c|c|c}
\hline \multirow{2}{*}{ Horas } & \multicolumn{3}{|c}{ Dias }

\cline { 2 - 4 } & 1 & 2 & 3

\hline 6 & 18 & 17 & 18

8 & 20 & 20 & 21

10 & 24 & 25 & 22

12 & 28 & 27 & 23

\hline

Passo 1

O enunciado dá medições de temperatura (em graus Celsius) em três dias, nas horas 6, 8, 10 e 12. Ele pede duas coisas:
a) a temperatura no terceiro dia às 11 horas;
b) a média das temperaturas nos três dias às 11 horas.
Dados fornecidos (extraí da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|ccc} \text{Horas} & \text{Dia 1} & \text{Dia 2} & \text{Dia 3} \\\ \hline 6 & 18 & 17 & 18 \\\\ 8 & 20 & 20 & 21 \\\\ 10 & 24 & 25 & 22 \\\\ 12 & 28 & 27 & 23 \end{array}
Vou interpolar usando o polinômio de Gregory–Newton (diferenças finitas) e então responder (a) e (b). A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

O método de Gregory–Newton (Newton para nós, com diferenças finitas) funciona bem quando os pontos têm abscissas igualmente espaçadas, como aqui: 6,8,10,12 têm passo h=2 horas. A ideia:
  • Definimos x_0 (o nó inicial onde calculamos as diferenças) e u=\dfrac{x-x_0}{h}.
  • Construímos as diferenças progressivas \Delta f, \Delta^2 f, \Delta^3 f a partir dos valores tabulados.
  • O polinômio de Newton (forma forward) é
P(x)=f(x_0)+u\,\Delta f(x_0)+\frac{u(u-1)}{2!}\,\Delta^2 f(x_0)+\frac{u(u-1)(u-2)}{3!}\,\Delta^3 f(x_0).
Explico as variáveis: f(x_0) é o valor no primeiro nó, \Delta f(x_0) é a primeira diferença a partir de x_0, \Delta^2 f(x_0) é a diferença da diferença, etc. O termo u é adimensional e mede quantos passos h estamos afastados de x_0.
Vou usar como x_0=6 (o primeiro ponto) para manter a construção da tabela simples e uniforme. Para x=11 temos
u=\frac{11-6}{2}=2{,}5.
Em cada dia faço a tabela de diferenças a partir de x_0=6 e aplico a fórmula acima.

Passo 3

Construção das diferenças para o Dia 1 (valores extraídos da tabela):
f(6)=18,\quad f(8)=20,\quad f(10)=24,\quad f(12)=28.
Calculo das diferenças progressivas:
\begin{aligned} \Delta f(6)&=f(8)-f(6)=20-18=2,\\[4pt] \Delta f(8)&=f(10)-f(8)=24-20=4,\\[4pt] \Delta f(10)&=f(12)-f(10)=28-24=4, \end{aligned}
\begin{aligned} \Delta^2 f(6)&=\Delta f(8)-\Delta f(6)=4-2=2,\\[4pt] \Delta^2 f(8)&=\Delta f(10)-\Delta f(8)=4-4=0, \end{aligned}
\Delta^3 f(6)=\Delta^2 f(8)-\Delta^2 f(6)=0-2=-2.]

Passo 4

Interpolação para o Dia 1 em x=11 (usando u=2{,}5 e a fórmula forward):
P_{1}(11)=f(6)+u\,\Delta f(6)+\frac{u(u-1)}{2}\,\Delta^2 f(6)+\frac{u(u-1)(u-2)}{6}\,\Delta^3 f(6).
Substituindo os números:
\begin{aligned} f(6)&=18,\\\ u\,\Delta f(6)&=2{,}5\cdot 2=5,\\\ \frac{u(u-1)}{2}\,\Delta^2 f(6)&=\frac{2{,}5(2{,}5-1)}{2}\cdot 2 =\frac{2{,}5\cdot 1{,}5}{2}\cdot 2 =1{,}875\cdot 2=3{,}75,\\\ \frac{u(u-1)(u-2)}{6}\,\Delta^3 f(6)&= \frac{2{,}5\cdot1{,}5\cdot0{,}5}{6}\cdot(-2) =0{,}3125\cdot(-2)=-0{,}625. \end{aligned}
Somando:
P_{1}(11)=18+5+3{,}75-0{,}625=26{,}125.
Portanto, a interpolação para o Dia 1 às 11 h dá 26{,}125^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Construção das diferenças para o Dia 2 (valores da tabela):
f(6)=17,\quad f(8)=20,\quad f(10)=25,\quad f(12)=27.
Diferenças:
\begin{aligned} \Delta f(6)&=20-17=3,\\[4pt] \Delta f(8)&=25-20=5,\\[4pt] \Delta f(10)&=27-25=2, \end{aligned}
\begin{aligned} \Delta^2 f(6)&=5-3=2,\\[4pt] \Delta^2 f(8)&=2-5=-3, \end{aligned}
\Delta^3 f(6)=-3-2=-5.]

Passo 6

Interpolação para o Dia 2 em x=11 ( u=2{,}5):
P_{2}(11)=f(6)+u\,\Delta f(6)+\frac{u(u-1)}{2}\,\Delta^2 f(6)+\frac{u(u-1)(u-2)}{6}\,\Delta^3 f(6).
Substituindo:
\begin{aligned} f(6)&=17,\\\ u\,\Delta f(6)&=2{,}5\cdot 3=7{,}5,\\\ \frac{u(u-1)}{2}\,\Delta^2 f(6)&=1{,}875\cdot 2=3{,}75,\\\ \frac{u(u-1)(u-2)}{6}\,\Delta^3 f(6)&=0{,}3125\cdot(-5)=-1{,}5625. \end{aligned}
Somando:
P_{2}(11)=17+7{,}5+3{,}75-1{,}5625=26{,}6875.
Logo, para o Dia 2 às 11 h obtemos 26{,}6875^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Construção das diferenças para o Dia 3 (valores da tabela):
f(6)=18,\quad f(8)=21,\quad f(10)=22,\quad f(12)=23.
Diferenças:
\begin{aligned} \Delta f(6)&=21-18=3,\\[4pt] \Delta f(8)&=22-21=1,\\[4pt] \Delta f(10)&=23-22=1, \end{aligned}
\begin{aligned} \Delta^2 f(6)&=1-3=-2,\\[4pt] \Delta^2 f(8)&=1-1=0, \end{aligned}
\Delta^3 f(6)=0-(-2)=2.]

Passo 8

Interpolação para o Dia 3 em x=11 ( u=2{,}5):
P_{3}(11)=f(6)+u\,\Delta f(6)+\frac{u(u-1)}{2}\,\Delta^2 f(6)+\frac{u(u-1)(u-2)}{6}\,\Delta^3 f(6).
Substituindo:
\begin{aligned} f(6)&=18,\\\ u\,\Delta f(6)&=2{,}5\cdot 3=7{,}5,\\\ \frac{u(u-1)}{2}\,\Delta^2 f(6)&=1{,}875\cdot(-2)=-3{,}75,\\\ \frac{u(u-1)(u-2)}{6}\,\Delta^3 f(6)&=0{,}3125\cdot 2=0{,}625. \end{aligned}
Somando:
P_{3}(11)=18+7{,}5-3{,}75+0{,}625=22{,}375.
Então, no terceiro dia às 11 h a temperatura interpolada é 22{,}375^\circ\mathrm{C}.

Passo 9

Cálculo da média das três temperaturas interpoladas às 11 h:
\begin{aligned} P_{1}(11)&=26{,}125,\\\ P_{2}(11)&=26{,}6875,\\\ P_{3}(11)&=22{,}375. \end{aligned}
Média:
\overline{T}(11)=\frac{P_{1}(11)+P_{2}(11)+P_{3}(11)}{3} =\frac{26{,}125+26{,}6875+22{,}375}{3} =\frac{75{,}1875}{3}=25{,}0625.
Portanto a média nos três dias às 11 h é 25{,}0625^\circ\mathrm{C}.

Resposta

\,22{,}375^\circ\mathrm{C}
\,25{,}0625^\circ\mathrm{C}

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