QUESTÃO 4 - Operador de Diferença Finita

Considere a seguinte tabela da função f(x) de grau 2 que descreve a quantidade de pessoas que entram/saem num elevador em cada piso x numa subida entre o piso -2 e o piso 2 . Usando a tabela de diferenças finitas, determine o valor de " k ".
x -2 -1 0 1 2
f(x) k 4 3 4 7
DICA: Se a função f(x) for realmente de grau 2 , as Diferenças Divididas (DD) e Diferenças Finitas (DF) de ordem 2 são iguais a uma constante, as acima de 2 são iguais a zero

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com valores de f(x) em cinco pontos igualmente espaçados x=-2,-1,0,1,2, onde o valor em x=-2 é desconhecido e está escrito como k. A tabela é:
\begin{array}{c|ccccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\\ \hline f(x) & k & 4 & 3 & 4 & 7 \end{array}
O que o problema pede: determinar o valor de k sabendo que f(x) é um polinômio de grau 2.

Passo 2

Conceito importante que vamos usar (explicado com calma): para pontos igualmente espaçados com passo h (aqui h=1), as diferenças finitas são definidas assim:
  • A primeira diferença (entre pontos consecutivos) é \Delta f(x_i)=f(x_{i+1})-f(x_i).
  • A segunda diferença é \Delta^2 f(x_i)=\Delta f(x_{i+1})-\Delta f(x_i).
Para um polinômio de grau 2 da forma f(x)=ax^2+bx+c e passo h=1, a segunda diferença \Delta^2 f é constante e igual a 2a. Então, se f é de grau 2, todas as segundas diferenças entre pares consecutivos serão iguais (mesma constante). Esse é o fato que usamos para achar k.

Passo 3

Vamos calcular as primeiras diferenças usando os valores da tabela (lembre: estou pegando esses dados da tabela dada no enunciado):
\begin{aligned} \Delta f(-2) &= f(-1)-f(-2)=4-k,\\[4pt] \Delta f(-1) &= f(0)-f(-1)=3-4=-1,\\[4pt] \Delta f(0) &= f(1)-f(0)=4-3=1,\\[4pt] \Delta f(1) &= f(2)-f(1)=7-4=3. \end{aligned}]

Passo 4

Agora calculamos as segundas diferenças (cada uma é a diferença entre duas primeiras diferenças consecutivas):
\begin{aligned} \Delta^2 f(-2) &= \Delta f(-1)-\Delta f(-2)=(-1)-(4-k)=k-5,\\[4pt] \Delta^2 f(-1) &= \Delta f(0)-\Delta f(-1)=1-(-1)=2,\\[4pt] \Delta^2 f(0) &= \Delta f(1)-\Delta f(0)=3-1=2. \end{aligned}]

Passo 5

Como f é de grau 2, as segundas diferenças devem ser todas iguais (constante). Das contas acima vemos que duas delas valem 2. Portanto igualamos a primeira secunda diferença a 2:
k-5=2.
Agora resolvemos para k:
k=2+5=7.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom checar): com k=7 as primeiras diferenças ficam \Delta f(-2)=4-7=-3, \Delta f(-1)=-1, \Delta f(0)=1, \Delta f(1)=3. As segundas diferenças são -1-(-3)=2, 1-(-1)=2, 3-1=2 — todas iguais a 2, consistente com ser um polinômio de grau 2. Tudo conferido!

Resposta

k=7

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