QUESTÃO 4 - Operador de Diferença Finita
Considere a seguinte tabela da função
de grau 2 que descreve a quantidade de pessoas que entram/saem num elevador em cada piso
numa subida entre o piso -2 e o piso 2 . Usando a tabela de diferenças finitas, determine o valor de "
".
-2
-1
0
1
2
4
3
4
7
DICA: Se a função
for realmente de grau 2 , as Diferenças Divididas (DD) e Diferenças Finitas (DF) de ordem 2 são iguais a uma constante, as acima de 2 são iguais a zero
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-2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
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4 | 3 | 4 | 7 |
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com valores de
em cinco pontos igualmente espaçados
, onde o valor em
é desconhecido e está escrito como
. A tabela é:
O que o problema pede: determinar o valor de
sabendo que
é um polinômio de grau 2.
Passo 2
Conceito importante que vamos usar (explicado com calma): para pontos igualmente espaçados com passo
(aqui
), as diferenças finitas são definidas assim:
- A primeira diferença (entre pontos consecutivos) é
. - A segunda diferença é
.
Para um polinômio de grau 2 da forma
e passo
, a segunda diferença
é constante e igual a
. Então, se
é de grau 2, todas as segundas diferenças entre pares consecutivos serão iguais (mesma constante). Esse é o fato que usamos para achar
.
Passo 3
Vamos calcular as primeiras diferenças usando os valores da tabela (lembre: estou pegando esses dados da tabela dada no enunciado):
Passo 4
Agora calculamos as segundas diferenças (cada uma é a diferença entre duas primeiras diferenças consecutivas):
Passo 5
Como
é de grau 2, as segundas diferenças devem ser todas iguais (constante). Das contas acima vemos que duas delas valem
. Portanto igualamos a primeira secunda diferença a
:
Agora resolvemos para
:
Passo 6
Verificação rápida (sempre bom checar): com
as primeiras diferenças ficam
,
,
,
. As segundas diferenças são
,
,
— todas iguais a
, consistente com ser um polinômio de grau 2. Tudo conferido!