QUESTÃO 1) (7 pontos) Analise as seguintes afirmações sobre conversão de números entre bases, aritmética de ponto flutuante e métodos numéricos para resolução de sistemas lineares.
I) Ao converter o número binário 1110001,00101 para sua correspondente forma na base decimal se torna igual a 113,15625 .
II) O número real x numa máquina que opera no sistema denominado ponto flutuante, em geral, é da forma x= \pm\left(. d_{1} d_{2} d_{3} \ldots d_{t}\right) \times \beta^{\varepsilon}, onde 0 \leq d_{i}<\beta, i=1,2, \ldots, t ., d_{1} \neq 0, sendo \beta a base, t o número de dígitos da mantissa e \varepsilon \in\left[\varepsilon_{\text {mín }}, \varepsilon_{\text {máx }}\right]íá o expoente inteiro de \beta. Supondo que exista uma máquina que opera no sistema \beta=2, t=3 e \varepsilon \in[-1,3], podemos afirmar que nesse sistema há 41 números representáveis. Além disso, o maior número, em valor absoluto, na base decimal representável neste sistema é o número 7.
III) Entre os métodos numéricos para resolução de sistemas lineares, temos os métodos diretos e os iterativos. Métodos diretos são aqueles que, a menos de erros de arredondamento, fornecem a solução exata do sistema linear, caso ela exista, após um número finito de operações. Enquanto que os métodos iterativos são aqueles que permitem obter a solução de um sistema com uma dada precisão através de um processo infinito convergente.
IV) Se a matriz A=\left(a_{i j}\right), n \times n do sistema linear A X=B é simétrica, positiva definida, então A pode ser decomposta unicamente no produto G G^{t}, onde G=\left(g_{i j}\right), n \times n é matriz triangular inferior com elementos diagonais positivos. Além \operatorname{disso,} \operatorname{det}(A)=\left(g_{11} \times g_{22} \times \ldots \times g_{n n}\right)^{2} e o sistema A X=B pode ser escrito como G G^{t} X=B. Isto representa dois sistemas triangulares, G Y=B e G^{t} X=Y os quais são facilmente resolvidos.
A respeito dessas afirmações é correto o que se afirma em
A) I, II e IV, apenas.
B) II, III e IV, apenas.
C) III e IV, apenas.
D) I, II e III, apenas.
E) I, II, III e IV.

Passo 1

O enunciado traz quatro afirmações (I, II, III, IV) sobre conversão entre bases, representação em ponto flutuante e métodos numéricos para sistemas lineares, e pede que se indique quais são verdadeiras. Dados extraídos do enunciado que vamos usar:
  • Afirmação I: número binário 1110001,00101_2 e a alegação de que equivale a 113,15625_{10}.
  • Afirmação II: máquina com base \beta=2, t=3 dígitos da mantissa normalizada \left(.d_1d_2d_3\right) com d_1\neq 0, expoente \varepsilon\in[-1,3]. Afirma-se que há 41 números representáveis e que o maior número (valor absoluto) representável é 7.
  • Afirmação III: definição/descrição de métodos diretos e iterativos para resolver sistemas lineares.
  • Afirmação IV: enunciado da existência e unicidade da decomposição A = G G^{t} (fatoração de Cholesky) para A simétrica definida positiva, relação com o determinante e com a solução via sistemas triangulares.
O objetivo é verificar, uma a uma, se as afirmações I–IV são verdadeiras.

Passo 2

Verificação da Afirmação I — converter 1110001,00101_2 para decimal passo a passo.
Regra de conversão: cada dígito binário contribui com um peso 2^{k}, onde k é inteiro (positivo para parte inteira, negativo para parte fracionária).
Parte inteira 1110001_2:
  • Os dígitos (da esquerda para a direita) correspondem a potências 2^{6},2^{5},2^{4},2^{3},2^{2},2^{1},2^{0}.
  • Então
1110001_2 = 1\cdot 2^{6} + 1\cdot 2^{5} + 1\cdot 2^{4} + 0\cdot 2^{3} + 0\cdot 2^{2} + 0\cdot 2^{1} + 1\cdot 2^{0}.
Calcule:
2^{6}=64,\quad 2^{5}=32,\quad 2^{4}=16,\quad 2^{0}=1,
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1110001_2 = 64+32+16+1 = 113.
Parte fracionária \, ,00101_2:
  • As posições fracionárias são 2^{-1},2^{-2},2^{-3},2^{-4},2^{-5} com dígitos 0,0,1,0,1.
,00101_2 = 0\cdot 2^{-1}+0\cdot 2^{-2}+1\cdot 2^{-3}+0\cdot 2^{-4}+1\cdot 2^{-5}.
Calcule:
2^{-3}=\tfrac{1}{8}=0{,}125,\quad 2^{-5}=\tfrac{1}{32}=0{,}03125,
portanto
,00101_2 = 0{,}125 + 0{,}03125 = 0{,}15625.
Somando parte inteira e fracionária:
1110001,00101_2 = 113 + 0{,}15625 = 113{,}15625_{10}.
Conclusão: a Afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Verificação da Afirmação II — contagem dos números representáveis e maior valor.
Primeiro, recapitular a forma normalizada dada:
x=\pm\left(.d_{1} d_{2} d_{3}\right)\times 2^{\varepsilon},
com d_1\neq 0, d_i\in\{0,1\}, t=3, e \varepsilon\in\{-1,0,1,2,3\} (notar que o intervalo [-1,3] com expoente inteiro contém 5 valores).
Contagem das mantissas normalizadas:
  • Como d_1 é obrigatório ser 1 (normalização) e d_2,d_3 podem ser 0 ou 1, há 2^{2}=4 mantissas possíveis:
.100_2,\\ .101_2,\\ .110_2,\\ .111_2.
Contagem dos expoentes:
  • Há 5 valores de \varepsilon: -1,0,1,2,3.
Contagem dos sinais:
  • Para cada mantissa e expoente há dois sinais \pm, isto é, duplique as combinações para obter os números não nulos.
Número de números não nulos representáveis:
\text{não nulos} = 2\\ (\text{signos}) \times 4\\ (\text{mantissas}) \times 5\\ (\text{expoentes}) = 40.ã
Além disso, a representação de ponto flutuante normalmente inclui o zero como um caso especial (zero representável). Assim, o total de números representáveis é
40 + 1 = 41.
Portanto, a primeira parte da Afirmação II (existem 41 números representáveis) é correta.
Agora o maior número em valor absoluto:
  • A maior mantissa é .111_2. Calculemos seu valor decimal:
.111_2 = 2^{-1}+2^{-2}+2^{-3} = \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8} = \tfrac{7}{8}=0{,}875.
  • O maior expoente é \varepsilon_{\max}=3, então o maior número em módulo é
0{,}875 \times 2^{3} = 0{,}875 \times 8 = 7.
Portanto, a segunda parte da Afirmação II (maior número representável é 7) também é correta.
Conclusão: a Afirmação II é verdadeira.

Passo 4

Verificação da Afirmação III — natureza de métodos diretos e iterativos.
Definições e ideias principais (explicando devagar, como numa prova):
  • Métodos diretos: são algoritmos que transformam o sistema A X = B por operações numéricas bem definidas de modo a produzir, em número finito de passos (de operações aritméticas), a solução exata se fôssemos capazes de fazer aritmética real perfeita. Na prática, há erros de arredondamento que impedem obter valor exato em ponto flutuante, mas teoricamente o processo é finito. Exemplos típicos: eliminação de Gauss (com ou sem pivoteamento), fatorações LU/Cholesky (quando aplicáveis).
  • Métodos iterativos: começam com uma aproximação inicial X^{(0)} e geram uma sequência X^{(k)} que tende para a solução exata quando k\to\infty, sob condições de convergência. Na prática, para obter uma solução com uma dada precisão, executa-se o processo até que \|X^{(k)}-X^{(k-1)}\| (ou o resíduo) caia abaixo de uma tolerância; teoricamente a convergência é assintótica (infinita). Exemplos: método de Jacobi, Gauss–Seidel, Gradiente Conjugado (GC). Observação didática importante: alguns métodos iterativos (por exemplo, GC em aritmética ideal para matriz n\times n simétrica definida positiva) podem produzir a solução exata em no máximo n iterações em aritmética exata — porém a caracterização geral continua sendo a de um processo iterativo/convergente e, em uso prático, resulta em aproximações sucessivas até atingir a precisão desejada.
A Afirmação III diz que métodos diretos (a menos de erros de arredondamento) fornecem a solução exata em número finito de operações, e que métodos iterativos permitem obter a solução com dada precisão via um processo infinito convergente. Essa descrição é a caracterização padrão e pedagógica desses dois grupos de métodos (com a ressalva realista sobre o comportamento em aritmética finita que já mencionei). Portanto, a Afirmação III é correta.

Passo 5

Verificação da Afirmação IV — fatoração para matrizes simétricas definidas positivas.
Teoria (passo a passo, tipo aula rápida):
  • Uma matriz A simétrica e definida positiva (SPD) satisfaz, por definição, x^{t}Ax>0 para todo vetor não nulo x.
  • Teorema (fatoração de Cholesky): toda matriz real A simétrica definida positiva admite uma fatoração única
A = G G^{t},
onde G é triangular inferior com elementos diagonais estritamente positivos. A unicidade decorre da exigência de diagonais positivas.
  • Determinante: usando propriedades de determinantes para matrizes triangulares,
\det(A) = \det(G)\det(G^{t}) = \det(G)\det(G) = (\det(G))^{2}.
Como G é triangular, \det(G)=g_{11}g_{22}\cdots g_{nn}, logo
\det(A) = \left(g_{11}g_{22}\cdots g_{nn}\right)^{2}.
  • Solução de A X = B: escrever A = G G^{t} e definir Y = G^{t} X ou, como no enunciado, primeiro resolver
G Y = B
(pela substituição progressiva — forward substitution, pois G é triangular inferior) e depois
G^{t} X = Y
(pela substituição regressiva — back substitution, pois G^{t} é triangular superior). Ambos são sistemas triangulares fáceis de resolver em custo O(n^{2}) cada, enquanto a fatoração geralmente custa O(n^{3}).
Essas afirmações são precisamente as propriedades da fatoração de Cholesky. Portanto, a Afirmação IV é verdadeira.

Passo 6

Resumo: das verificações detalhadas:
  • Afirmação I: verdadeira.
  • Afirmação II: verdadeira.
  • Afirmação III: verdadeira.
  • Afirmação IV: verdadeira.
Logo todas as quatro afirmações são corretas.

Resposta

E

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