QUESTÃO 1) (7 pontos) Analise as seguintes afirmações sobre conversão de números entre bases, aritmética de ponto flutuante e métodos numéricos para resolução de sistemas lineares.
I) Ao converter o número binário 1110001,00101 para sua correspondente forma na base decimal se torna igual a 113,15625 .
II) O número real
numa máquina que opera no sistema denominado ponto flutuante, em geral, é da forma
, onde
, sendo
a base,
o número de dígitos da mantissa e
o expoente inteiro de
. Supondo que exista uma máquina que opera no sistema
e
, podemos afirmar que nesse sistema há 41 números representáveis. Além disso, o maior número, em valor absoluto, na base decimal representável neste sistema é o número 7.
III) Entre os métodos numéricos para resolução de sistemas lineares, temos os métodos diretos e os iterativos. Métodos diretos são aqueles que, a menos de erros de arredondamento, fornecem a solução exata do sistema linear, caso ela exista, após um número finito de operações. Enquanto que os métodos iterativos são aqueles que permitem obter a solução de um sistema com uma dada precisão através de um processo infinito convergente.
IV) Se a matriz
do sistema linear
é simétrica, positiva definida, então
pode ser decomposta unicamente no produto
, onde
é matriz triangular inferior com elementos diagonais positivos. Além
e o sistema
pode ser escrito como
. Isto representa dois sistemas triangulares,
e
os quais são facilmente resolvidos.
A respeito dessas afirmações é correto o que se afirma em
A) I, II e IV, apenas.
B) II, III e IV, apenas.
C) III e IV, apenas.
D) I, II e III, apenas.
E) I, II, III e IV.
I) Ao converter o número binário 1110001,00101 para sua correspondente forma na base decimal se torna igual a 113,15625 .
II) O número real
III) Entre os métodos numéricos para resolução de sistemas lineares, temos os métodos diretos e os iterativos. Métodos diretos são aqueles que, a menos de erros de arredondamento, fornecem a solução exata do sistema linear, caso ela exista, após um número finito de operações. Enquanto que os métodos iterativos são aqueles que permitem obter a solução de um sistema com uma dada precisão através de um processo infinito convergente.
IV) Se a matriz
A) I, II e IV, apenas.
B) II, III e IV, apenas.
C) III e IV, apenas.
D) I, II e III, apenas.
E) I, II, III e IV.
Passo 1
O enunciado traz quatro afirmações (I, II, III, IV) sobre conversão entre bases, representação em ponto flutuante e métodos numéricos para sistemas lineares, e pede que se indique quais são verdadeiras. Dados extraídos do enunciado que vamos usar:
- Afirmação I: número binário
e a alegação de que equivale a . - Afirmação II: máquina com base
, dígitos da mantissa normalizada com , expoente . Afirma-se que há 41 números representáveis e que o maior número (valor absoluto) representável é . - Afirmação III: definição/descrição de métodos diretos e iterativos para resolver sistemas lineares.
- Afirmação IV: enunciado da existência e unicidade da decomposição
(fatoração de Cholesky) para simétrica definida positiva, relação com o determinante e com a solução via sistemas triangulares.
O objetivo é verificar, uma a uma, se as afirmações I–IV são verdadeiras.
Passo 2
Verificação da Afirmação I — converter
para decimal passo a passo.
Regra de conversão: cada dígito binário contribui com um peso
, onde
é inteiro (positivo para parte inteira, negativo para parte fracionária).
Parte inteira
:
- Os dígitos (da esquerda para a direita) correspondem a potências
. - Então
Calcule:
logo
Parte fracionária
:
- As posições fracionárias são
com dígitos .
Calcule:
portanto
Somando parte inteira e fracionária:
Conclusão: a Afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Verificação da Afirmação II — contagem dos números representáveis e maior valor.
Primeiro, recapitular a forma normalizada dada:
com
,
,
, e
(notar que o intervalo
com expoente inteiro contém 5 valores).
Contagem das mantissas normalizadas:
- Como
é obrigatório ser (normalização) e podem ser ou , há mantissas possíveis:
Contagem dos expoentes:
- Há 5 valores de
: .
Contagem dos sinais:
- Para cada mantissa e expoente há dois sinais
, isto é, duplique as combinações para obter os números não nulos.
Número de números não nulos representáveis:
Além disso, a representação de ponto flutuante normalmente inclui o zero como um caso especial (zero representável). Assim, o total de números representáveis é
Portanto, a primeira parte da Afirmação II (existem 41 números representáveis) é correta.
Agora o maior número em valor absoluto:
- A maior mantissa é
. Calculemos seu valor decimal:
- O maior expoente é
, então o maior número em módulo é
Portanto, a segunda parte da Afirmação II (maior número representável é
) também é correta.
Conclusão: a Afirmação II é verdadeira.
Passo 4
Verificação da Afirmação III — natureza de métodos diretos e iterativos.
Definições e ideias principais (explicando devagar, como numa prova):
- Métodos diretos: são algoritmos que transformam o sistema
por operações numéricas bem definidas de modo a produzir, em número finito de passos (de operações aritméticas), a solução exata se fôssemos capazes de fazer aritmética real perfeita. Na prática, há erros de arredondamento que impedem obter valor exato em ponto flutuante, mas teoricamente o processo é finito. Exemplos típicos: eliminação de Gauss (com ou sem pivoteamento), fatorações LU/Cholesky (quando aplicáveis). - Métodos iterativos: começam com uma aproximação inicial
e geram uma sequência que tende para a solução exata quando , sob condições de convergência. Na prática, para obter uma solução com uma dada precisão, executa-se o processo até que (ou o resíduo) caia abaixo de uma tolerância; teoricamente a convergência é assintótica (infinita). Exemplos: método de Jacobi, Gauss–Seidel, Gradiente Conjugado (GC). Observação didática importante: alguns métodos iterativos (por exemplo, GC em aritmética ideal para matriz simétrica definida positiva) podem produzir a solução exata em no máximo iterações em aritmética exata — porém a caracterização geral continua sendo a de um processo iterativo/convergente e, em uso prático, resulta em aproximações sucessivas até atingir a precisão desejada.
A Afirmação III diz que métodos diretos (a menos de erros de arredondamento) fornecem a solução exata em número finito de operações, e que métodos iterativos permitem obter a solução com dada precisão via um processo infinito convergente. Essa descrição é a caracterização padrão e pedagógica desses dois grupos de métodos (com a ressalva realista sobre o comportamento em aritmética finita que já mencionei). Portanto, a Afirmação III é correta.
Passo 5
Verificação da Afirmação IV — fatoração para matrizes simétricas definidas positivas.
Teoria (passo a passo, tipo aula rápida):
- Uma matriz
simétrica e definida positiva (SPD) satisfaz, por definição, para todo vetor não nulo . - Teorema (fatoração de Cholesky): toda matriz real
simétrica definida positiva admite uma fatoração única
onde
é triangular inferior com elementos diagonais estritamente positivos. A unicidade decorre da exigência de diagonais positivas.
- Determinante: usando propriedades de determinantes para matrizes triangulares,
Como
é triangular,
, logo
- Solução de
: escrever e definir ou, como no enunciado, primeiro resolver
(pela substituição progressiva — forward substitution, pois
é triangular inferior) e depois
(pela substituição regressiva — back substitution, pois
é triangular superior). Ambos são sistemas triangulares fáceis de resolver em custo
cada, enquanto a fatoração geralmente custa
.
Essas afirmações são precisamente as propriedades da fatoração de Cholesky. Portanto, a Afirmação IV é verdadeira.
Passo 6
Resumo: das verificações detalhadas:
- Afirmação I: verdadeira.
- Afirmação II: verdadeira.
- Afirmação III: verdadeira.
- Afirmação IV: verdadeira.
Logo todas as quatro afirmações são corretas.
Resposta
E