Questão 1: (2,0 pontos) Considere o sistema linear A x=b, onde:
A=\left[\begin{array}{rrr} 9 & -2 & 1 \\\\ 4 & -7 & 2 \\\\ -3 & -5 & 9 \end{array}\right] ; \quad b=\left[\begin{array}{l} 9 \\\\ 6 \\\\ 4 \end{array}\right]
Após calcular apenas uma iteração usando o método de Gauss-Seidel a partir de X^{(0)}= (0,93 ;-0,05,0,73)^{T}, a solução aproximada e o erro cometido são dados por:
(i) (0,9078 ;-0,1298 ; 0,6649)^{T} ; 0,0698
(ii) (0,9078 ;-0,1298 ; 0,6749)^{T} ; 0,0798
(iii) (0,9078 ;-0,1298 ; 0,6849)^{T} ; 0,0898
(iv) (0,9078 ;-0,1298 ; 0,6949)^{T} ; 0,0998
(v) D.F.A.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear A x=b e pede que façamos uma iteração de Gauss–Seidel a partir de
X^{(0)} = \begin{pmatrix}0,93\\\ -0,05\\\ 0,73\end{pmatrix}
e, em seguida, calculemos o erro cometido. O conteúdo usado é a fórmula de atualização
x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i - \sum_{j<i}a_{ij}x_j^{(k+1)} - \sum_{j>i}a_{ij}x_j^{(k)}\Bigr),
seguindo a ordem i=1,2,3.

Passo 2

Aplicando para i=1:
x_1^{(1)} = \frac{1}{9}\bigl(b_1 - a_{12}x_2^{(0)} - a_{13}x_3^{(0)}\bigr) = \frac{1}{9}\bigl[9 - (-2)\cdot(-0,05) - 1\cdot0,73\bigr] = \frac{8,17}{9} \approx 0,9078.

Passo 3

Para i=2 usamos o novo x_1^{(1)} e o antigo x_3^{(0)}:
x_2^{(1)} = \frac{1}{-7}\bigl(b_2 - a_{21}x_1^{(1)} - a_{23}x_3^{(0)}\bigr) = \frac{1}{-7}\bigl[6 - 4\cdot0,9078 - 2\cdot0,73\bigr] = \frac{0,9089}{-7} \approx -0,1298.

Passo 4

Para i=3 usamos x_1^{(1)} e x_2^{(1)}:
x_3^{(1)} = \frac{1}{9}\bigl(b_3 - a_{31}x_1^{(1)} - a_{32}x_2^{(1)}\bigr) = \frac{1}{9}\bigl[4 - (-3)\cdot0,9078 - (-5)\cdot(-0,1298)\bigr] = \frac{6,0741}{9} \approx 0,6749.

Passo 5

O erro máximo em norma infinito é
\max\bigl\{|x_1^{(1)}-x_1^{(0)}|,\;|x_2^{(1)}-x_2^{(0)}|,\;|x_3^{(1)}-x_3^{(0)}|\bigr\} = \max\{0,0222,\;0,0798,\;0,0551\} = 0,0798.

Resposta

(ii) \bigl(0,9078;\,-0,1298;\,0,6749\bigr)^{T}; erro 0,0798.

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