Questão 2: No cálculo da maior raiz positiva de
f(x)=4 \cos \left(\frac{x}{2}\right)+(x-8)^{2}-4=0,
pelo método do ponto fixo, são usadas as seguintes funções de iteração linear:
\varphi_{1}(x)=7+\sqrt{2 x-11-4 \cos \left(\frac{x}{2}\right)} ; \quad \varphi_{2}(x)=8+\sqrt{4-4 \cos \left(\frac{x}{2}\right)}.
(a) (2,0 pontos) Seja x_{0}=9,5 uma boa aproximação inicial para tal raiz. Qual das funções de iteração linear acima irá convergir mais rápido para a raiz?
(b) ( 2,0 pontos) Calcule uma aproximação para a raiz usando o método de NewtonRaphson, com tolerância € \leq 10^{-4}.

Passo 1

O enunciado pede a maior raiz positiva de
f(x)=4\cos\!\Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr)+(x-8)^{2}-4=0
usando (a) método do ponto fixo com \varphi_{1} e \varphi_{2} a partir de x_{0}=9{,}5, e (b) método de Newton–Raphson com tolerância \varepsilon\le10^{-4}. Vamos precisar de (i) análise de convergência local de iterações \varphi pelo módulo de \varphi' no ponto fixo e (ii) aplicação do método de Newton até |x_{k+1}-x_{k}|\le10^{-4}.

Passo 2

Para decidir qual \varphi converge mais rápido, lembramos que, perto da raiz x^*, a velocidade de convergência é determinada por \bigl|\varphi'(x^*)\bigr|: quanto menor esse valor, mais rápido converge. Portanto, vamos obter as derivadas de
\varphi_{1}(x)=7+\sqrt{2x-11-4\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)},
\varphi_{2}(x)=8+\sqrt{4-4\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}.

Passo 3

Calculamos as derivadas:
\varphi_{1}'(x) =\frac{1}{2\sqrt{2x-11-4\cos(\tfrac{x}{2})}}\;\bigl(2-4\cdot(-\tfrac12\sin(\tfrac{x}{2}))\bigr) =\frac{1+\sin(\tfrac{x}{2})}{\sqrt{2x-11-4\cos(\tfrac{x}{2})}},
\varphi_{2}'(x) =\frac{1}{2\sqrt{4-4\cos(\tfrac{x}{2})}}\;\bigl(-4\cdot(-\tfrac12\sin(\tfrac{x}{2}))\bigr) =\frac{\sin(\tfrac{x}{2})}{\sqrt{4-4\cos(\tfrac{x}{2})}}.

Passo 4

Aplicamos Newton–Raphson
x_{k+1}=x_{k}-\frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}, \quad f'(x)=-2\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)+2(x-8),
com x_{0}=9{,}5, até |x_{k+1}-x_{k}|\le10^{-4}. Os primeiros passos são:
x_{1}\approx9{,}8137,\quad x_{2}\approx9{,}8003,\quad x_{3}\approx9{,}8010,\quad x_{4}\approx9{,}8011,
e em x_{4} já se verifica |x_{4}-x_{3}|\approx1{,}35\times10^{-4}\le10^{-4}. Tomamos
x^*\approx9{,}8011.

Passo 5

Agora avaliamos \varphi_{1}' e \varphi_{2}' em x^*\approx9{,}8011. Usando \cos(x^*/2)\approx0{,}189 e \sin(x^*/2)\approx-0{,}983, obtemos
\bigl|\varphi_{1}'(x^*)\bigr| \approx\frac{|1-0{,}983|}{\sqrt{2\cdot9{,}8011-11-4\cdot0{,}189}} \approx0{,}0061,
\bigl|\varphi_{2}'(x^*)\bigr| \approx\frac{0{,}983}{\sqrt{4-4\cdot0{,}189}} \approx0{,}546.
Como \bigl|\varphi_{1}'(x^*)\bigr|\ll\bigl|\varphi_{2}'(x^*)\bigr|, a iteração \varphi_{1} converge mais rápido.

Resposta

(a) \varphi_{1} converge mais rápido, pois \bigl|\varphi_{1}'(x^*)\bigr|\approx0{,}0061<0{,}546\approx\bigl|\varphi_{2}'(x^*)\bigr|.
(b) Aproximação pela Newton–Raphson: x\approx9{,}8011.

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