Questão 2: No cálculo da maior raiz positiva de f(x)=4 \cos \left(\frac{x}{2}\right)+(x-8)^{2}-4=0,
pelo método do ponto fixo, são usadas as seguintes funções de iteração linear: \varphi_{1}(x)=7+\sqrt{2 x-11-4 \cos \left(\frac{x}{2}\right)} ; \quad \varphi_{2}(x)=8+\sqrt{4-4 \cos \left(\frac{x}{2}\right)}.
(a) (2,0 pontos) Seja x_{0}=9,5 uma boa aproximação inicial para tal raiz. Qual das funções de iteração linear acima irá convergir mais rápido para a raiz?
(b) ( 2,0 pontos) Calcule uma aproximação para a raiz usando o método de NewtonRaphson, com tolerância € \leq 10^{-4}.
usando (a) método do ponto fixo com \varphi_{1} e \varphi_{2} a partir de x_{0}=9{,}5, e (b) método de Newton–Raphson com tolerância \varepsilon\le10^{-4}. Vamos precisar de (i) análise de convergência local de iterações \varphi pelo módulo de \varphi' no ponto fixo e (ii) aplicação do método de Newton até |x_{k+1}-x_{k}|\le10^{-4}.
Passo 2
Para decidir qual \varphi converge mais rápido, lembramos que, perto da raiz x^*, a velocidade de convergência é determinada por \bigl|\varphi'(x^*)\bigr|: quanto menor esse valor, mais rápido converge. Portanto, vamos obter as derivadas de
Como \bigl|\varphi_{1}'(x^*)\bigr|\ll\bigl|\varphi_{2}'(x^*)\bigr|, a iteração \varphi_{1} converge mais rápido.
Resposta
(a) \varphi_{1} converge mais rápido, pois \bigl|\varphi_{1}'(x^*)\bigr|\approx0{,}0061<0{,}546\approx\bigl|\varphi_{2}'(x^*)\bigr|.
(b) Aproximação pela Newton–Raphson: x\approx9{,}8011.