Questão 3: Sejam a matriz A e o vetor b dados por:
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{rrr} 3 & -3 & 7 \\\\ 1 & -2 & 3 \\\\ -6 & 5 & -5 \end{array}\right] ; \quad \mathbf{b}=\left[\begin{array}{r} 2 \\\\ -8 \\\\ 3 \end{array}\right]
(a) (2,0 pontos) Determine as matrizes L e U da fatoração \mathrm{A}=\mathrm{LU}.
(b) (2,0 pontos) Resolva o sistema linear \mathrm{Ax}=\mathrm{b} usando a fatoração LU encontrada no item (a)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
– (a) fatorar
\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 3 & -3 & 7\\\\ 1 & -2 & 3\\\\ -6 & 5 & -5 \end{pmatrix}
na forma \mathbf{A} = LU, onde L é lower–triangular com uns na diagonal e U é upper–triangular;
– (b) usar essa fatoração para resolver \mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b} com
\mathbf{b}=\begin{pmatrix}2\\\ -8\\\ 3\end{pmatrix},
aplicando substituição direta em L\mathbf{y}=\mathbf{b} e retroativa em U\mathbf{x}=\mathbf{y}.

Passo 2

Primeira etapa da eliminação (coluna 1):
l_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{1}{3}, \qquad l_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=-2.
Atualizando as linhas 2 e 3:
\text{Row}_2\leftarrow\text{Row}_2 - l_{21}\,\text{Row}_1 \quad\implies\quad a'_{22}=-1,\;a'_{23}=\tfrac{2}{3},
\text{Row}_3\leftarrow\text{Row}_3 - l_{31}\,\text{Row}_1 \quad\implies\quad a'_{32}=-1,\;a'_{33}=9.

Passo 3

Segunda etapa (coluna 2):
l_{32}=\frac{a'_{32}}{a'_{22}}=\frac{-1}{-1}=1,
\text{Row}_3\leftarrow\text{Row}_3 - l_{32}\,\text{Row}_2 \quad\implies\quad a''_{33}=\frac{25}{3}.
Logo
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] \frac{1}{3} & 1 & 0\\[4pt] -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad U = \begin{pmatrix} 3 & -3 & 7\\[4pt] 0 & -1 & \tfrac{2}{3}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{25}{3} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Resolvendo L\mathbf{y}=\mathbf{b} (substituição direta):
y_1 = 2,
y_2 = -8 - \frac{1}{3}\cdot 2 = -\frac{26}{3},
y_3 = 3 -(-2)\cdot2 - 1\cdot\Bigl(-\frac{26}{3}\Bigr) = 7 + \frac{26}{3} = \frac{47}{3}.

Passo 5

Resolvendo U\mathbf{x}=\mathbf{y} (substituição retroativa):
\frac{25}{3}\,x_3 = \frac{47}{3} \quad\Longrightarrow\quad x_3 = \frac{47}{25},
-\,x_2 + \frac{2}{3}\,x_3 = -\frac{26}{3} \quad\Longrightarrow\quad x_2 = \frac{248}{25},
3\,x_1 - 3\,x_2 + 7\,x_3 = 2 \quad\Longrightarrow\quad x_1 = \frac{31}{5}.

Resposta

L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] \frac{1}{3} & 1 & 0\\[4pt] -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad U = \begin{pmatrix} 3 & -3 & 7\\[4pt] 0 & -1 & \tfrac{2}{3}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{25}{3} \end{pmatrix}.
\mathbf{x} = \begin{pmatrix} \frac{31}{5}\\[6pt] \frac{248}{25}\\[6pt] \frac{47}{25} \end{pmatrix}.]

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