Resolver as integrais abaixo usando as regras do trapézio e a 1^{\underline{\mathrm{a}}} regra de Simpson, ambas com \mathrm{N}=6. Estime o erro cometido em cada integral. Compare o resultado com o valor exato fornecido.
(c) I=\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^{4}} d x=\frac{\sqrt{2}}{4} \pi \quad (Faça primeiro a mudança de variável adequada)

Passo 1

O enunciado pede aproximar
I = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^{4}}\,dx
pelas regras do trapézio e de Simpson (primeira regra) com N=6, estimar o erro e comparar com o valor exato
I_{\rm exato} = \frac{\sqrt{2}}{4}\,\pi.
O conteúdo é integração numérica e erro de quadratura. Como o intervalo é infinito, faremos primeiro uma mudança de variável para um intervalo finito.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = \frac{x}{1+x},\quad x = \frac{t}{1-t},\quad dx = \frac{dt}{(1-t)^{2}},
que leva x\in[0,\infty) em t\in[0,1]. Então
I = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+\bigl(\tfrac{t}{1-t}\bigr)^{4}}\;\frac{dt}{(1-t)^{2}} = \int_{0}^{1} \frac{(1-t)^{2}}{(1-t)^{4}+t^{4}}\;dt.
Definimos
f(t) = \frac{(1-t)^{2}}{(1-t)^{4}+t^{4}},
e aproximaremos \int_{0}^{1}f(t)\,dt.

Passo 3

Dividimos [0,1] em N=6 subintervalos de comprimento
h = \frac{1-0}{6} = \frac{1}{6}.
Para t_{i}=i/6 ( i=0,\dots,6) calculamos
\begin{aligned} f_{0}&=f(0)=1,\\\ f_{1}&=f\bigl(\tfrac{1}{6}\bigr) =\frac{(5/6)^{2}}{(5/6)^{4}+(1/6)^{4}} =1{,}4375,\\\ f_{2}&=f\bigl(\tfrac{2}{6}\bigr)\approx2{,}117647,\\\ f_{3}&=f\bigl(\tfrac{3}{6}\bigr)=2,\\\ f_{4}&=f\bigl(\tfrac{4}{6}\bigr)\approx0{,}529412,\\\ f_{5}&=f\bigl(\tfrac{5}{6}\bigr)\approx0{,}057500,\\\ f_{6}&=f(1)=0. \end{aligned}

Passo 4

Aplicando a regra do trapézio com h=1/6:
T = h\Bigl(\tfrac{f_{0}}{2} + f_{1}+f_{2}+f_{3}+f_{4}+f_{5} + \tfrac{f_{6}}{2}\Bigr).
Substituindo os valores:
T = \tfrac{1}{6}\bigl(0{,}5+1{,}4375+2{,}117647+2+0{,}529412+0{,}0575+0\bigr) \approx1{,}10701.

Passo 5

Aplicando a primeira regra de Simpson com h=1/6:
S = \frac{h}{3}\bigl(f_{0} +4f_{1} +2f_{2} +4f_{3} +2f_{4} +4f_{5} +f_{6}\bigr).
Substituindo:
S = \frac{1}{18}\bigl(1 +4\cdot1{,}4375 +2\cdot2{,}117647 +4\cdot2 +2\cdot0{,}529412 +4\cdot0{,}0575 +0\bigr) \approx1{,}12634.

Passo 6

O valor exato é
I_{\rm exato} = \frac{\sqrt{2}}{4}\,\pi \approx1{,}11072.
Os erros absolutos são
E_{T} = \bigl|I_{\rm exato}-T\bigr|\approx|1{,}11072-1{,}10701|=0{,}00371,
E_{S} = \bigl|I_{\rm exato}-S\bigr|\approx|1{,}11072-1{,}12634|=0{,}01562.

Resposta

Regra do trapézio: T\approx1{,}10701,
erro E_{T}\approx0{,}00371.
Regra de Simpson: S\approx1{,}12634,
erro E_{S}\approx0{,}01562.
Valor exato: \tfrac{\sqrt{2}}{4}\,\pi\approx1{,}11072.

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