Resolver as integrais abaixo usando as regras do trapézio e a 1^{\underline{\mathrm{a}}} regra de Simpson, ambas com \mathrm{N}=6. Estime o erro cometido em cada integral. Compare o resultado com o valor exato fornecido.
(c) I=\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^{4}} d x=\frac{\sqrt{2}}{4} \pi \quad (Faça primeiro a mudança de variável adequada)
Passo 1
O enunciado pede aproximar
I = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^{4}}\,dx
pelas regras do trapézio e de Simpson (primeira regra) com N=6, estimar o erro e comparar com o valor exato
I_{\rm exato} = \frac{\sqrt{2}}{4}\,\pi.
O conteúdo é integração numérica e erro de quadratura. Como o intervalo é infinito, faremos primeiro uma mudança de variável para um intervalo finito.
Passo 2
Fazemos a substituição
t = \frac{x}{1+x},\quad x = \frac{t}{1-t},\quad dx = \frac{dt}{(1-t)^{2}},
que leva x\in[0,\infty) em t\in[0,1]. Então
I = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+\bigl(\tfrac{t}{1-t}\bigr)^{4}}\;\frac{dt}{(1-t)^{2}} = \int_{0}^{1} \frac{(1-t)^{2}}{(1-t)^{4}+t^{4}}\;dt.
Definimos
f(t) = \frac{(1-t)^{2}}{(1-t)^{4}+t^{4}},
e aproximaremos \int_{0}^{1}f(t)\,dt.
Passo 3
Dividimos [0,1] em N=6 subintervalos de comprimento