Questão (2,0 Pontos): Dada a equação não linear abaixo.
f(x)=6 \ln (x)-\left(x^{2}-1\right)^{3}
a.) Verificar que tem uma raiz \xi \in[2,3];
b.) Escolha uma aproximação inicial com x_{0} \in[2,3]. Calcule 3 iterações usando o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz.
Atenção:
Exibir cálculos detalhados dos valores de: x^{(k)}, f^{(k)} e Erro { }^{(k)}=\left|x^{(k)}-x^{(k-1)}\right| encontrados nas iterações;
Faça uma tabela exibindo resumo de (k), x^{(k)}, f^{(k)} e Erro { }^{(k)}.
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x)=6\ln(x)-\bigl(x^{2}-1\bigr)^{3}
e pede duas coisas:
(a) Verificar que existe uma raiz \xi\in[2,3].
(b) Escolher uma aproximação inicial x_{0}\in[2,3] e calcular 3 iterações do método de Newton, exibindo detalhadamente x^{(k)}, f^{(k)} e \mathrm{Erro}^{(k)}=\bigl|x^{(k)}-x^{(k-1)}\bigr|. Também pediram uma tabela resumo com (k),\,x^{(k)},\,f^{(k)} e \mathrm{Erro}^{(k)}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A função é definida para x>0 (por causa de \ln(x)).
Devemos trabalhar no intervalo [2,3] para as verificações/inicialização.
É exigido detalhar cálculos numéricos e apresentar uma tabela resumo.
Passo 2
Verificação da existência de raiz em [2,3] (parte a).
Estratégia: usar o Teorema do Valor Intermediário (Bolzano) — se f for contínua em [2,3] e f(2)\cdot f(3)<0, então existe pelo menos uma raiz em [2,3].
Primeiro, f é contínua para x>0 (combinação de \ln(x) e polinômio), logo é contínua em [2,3]. Calculo os valores nas extremidades:
Portanto f(2)\cdot f(3)>0 (na verdade >0 porque os dois são negativos), logo o Teorema do Valor Intermediário NÃO garante existência de raiz em [2,3]. Conclusão: NÃO há verificação de existência de raiz em [2,3] por troca de sinal — na prática, não existe mudança de sinal entre 2 e 3.
Comentário adicional (útil para a prova): note que f(1)=6\ln(1)-(1^{2}-1)^{3}=0-0=0, ou seja, x=1 é uma raiz exata da função; essa raiz está fora do intervalo [2,3]. Então, se o enunciado afirmava que há uma raiz em [2,3], essa afirmação não se confirma pelos cálculos numéricos (a raiz conhecida está em x=1).
Passo 3
Preparação para a parte (b): explicação do método de Newton e derivada de f.
O método de Newton (para encontrar uma raiz de f) gera a sequência
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
onde f'(x) é a derivada de f. A ideia intuitiva: aproximamos f por sua reta tangente em x_{n} e tomamos a interseção dessa reta com o eixo x como próxima aproximação.
Vamos obter a derivada de f. Dada
f(x)=6\ln(x)-\bigl(x^{2}-1\bigr)^{3},
derivando termo a termo:
Derivada de 6\ln(x) é \dfrac{6}{x}.
Derivada de \bigl(x^{2}-1\bigr)^{3} é 3\bigl(x^{2}-1\bigr)^{2}\cdot 2x = 6x\bigl(x^{2}-1\bigr)^{2}.
Observação de método: o enunciado pediu para escolher x_{0}\in[2,3]. Mesmo tendo verificado que não há troca de sinal em [2,3], podemos escolher x_{0} nesse intervalo e aplicar Newton (o método pode convergir para a raiz real mais próxima ou divergir; aqui vamos executar as 3 iterações pedidas). Vou escolher a escolha simples e natural
\boxed{\,x_{0}=2\,}
(poderíamos escolher outro valor em [2,3], mas 2 é conveniente para cálculos manuais).
Passo 4
Iteração 1 (cálculos detalhados para k=1).
Dados iniciais:
x^{(0)}=2.
Já calculamos (no Passo 2) que
f\bigl(x^{(0)}\bigr)=f(2)\approx -22{,}841118.
Calcule f'\bigl(x^{(0)}\bigr)=f'(2) usando a fórmula da derivada:
Observação: os valores de f\bigl(x^{(k)}\bigr) estão ficando menos negativos (-22{,}84\to -6{,}85\to -1{,}80\to -0{,}32), indicando que as aproximações se aproximam da raiz real (que sabemos ser 1 exata), mas ainda não convergiram em apenas 3 iterações começando de x_{0}=2.
Passo 7
Tabela resumo (valores arredondados, 6 casas decimais onde cabível):
(k)
x^{(k)}
f^{(k)}=f(x^{(k)})
(\mathrm{Erro}^{(k)}=\bigl
x{(k)}-x{(k-1)}\bigr
)
0
x^{(0)}=2{,}000000
f^{(0)}\approx -22{,}841118
—
1
x^{(1)}\approx 1{,}782466
f^{(1)}\approx -6{,}852600
\mathrm{Erro}^{(1)}\approx 0{,}217534
2
x^{(2)}\approx 1{,}637648
f^{(2)}\approx -1{,}798797
\mathrm{Erro}^{(2)}\approx 0{,}144818
3
x^{(3)}\approx 1{,}563068
f^{(3)}\approx -0{,}323574
\mathrm{Erro}^{(3)}\approx 0{,}074580
Comentários finais pedagógicos e de ânimo: Newton costuma convergir rápido quando a aproximação inicial está razoavelmente próxima da raiz; aqui começamos em x_0=2 (relativamente longe da raiz exata x=1) e já vemos redução substancial do valor absoluto de f e dos erros entre iterações. Se você continuar as iterações (ou escolher uma aproximação inicial mais perto de 1), a convergência será mais rápida. Está indo bem — três iterações manuais dão uma boa intuição de comportamento do método.
Resposta
a) Não: f(2)\approx -22{,}841118 e f(3)\approx -505{,}408328, ambas negativas, logo não há troca de sinal em [2,3] e o TVI não garante raiz em [2,3].
b) Usando x_{0}=2 e três iterações de Newton: x^{(1)}\approx 1{,}782466, x^{(2)}\approx 1{,}637648, x^{(3)}\approx 1{,}563068.