Questão (2,0 Pontos): Dada a equação não linear abaixo.
f(x)=6 \ln (x)-\left(x^{2}-1\right)^{3}
a.) Verificar que tem uma raiz \xi \in[2,3];
b.) Escolha uma aproximação inicial com x_{0} \in[2,3]. Calcule 3 iterações usando o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz.

Atenção:

  • Exibir cálculos detalhados dos valores de: x^{(k)}, f^{(k)} e Erro { }^{(k)}=\left|x^{(k)}-x^{(k-1)}\right| encontrados nas iterações;
  • Faça uma tabela exibindo resumo de (k), x^{(k)}, f^{(k)} e Erro { }^{(k)}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=6\ln(x)-\bigl(x^{2}-1\bigr)^{3}
e pede duas coisas:
  1. (a) Verificar que existe uma raiz \xi\in[2,3].
  2. (b) Escolher uma aproximação inicial x_{0}\in[2,3] e calcular 3 iterações do método de Newton, exibindo detalhadamente x^{(k)}, f^{(k)} e \mathrm{Erro}^{(k)}=\bigl|x^{(k)}-x^{(k-1)}\bigr|. Também pediram uma tabela resumo com (k),\,x^{(k)},\,f^{(k)} e \mathrm{Erro}^{(k)}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é definida para x>0 (por causa de \ln(x)).
  • Devemos trabalhar no intervalo [2,3] para as verificações/inicialização.
  • É exigido detalhar cálculos numéricos e apresentar uma tabela resumo.

Passo 2

Verificação da existência de raiz em [2,3] (parte a).
Estratégia: usar o Teorema do Valor Intermediário (Bolzano) — se f for contínua em [2,3] e f(2)\cdot f(3)<0, então existe pelo menos uma raiz em [2,3].
Primeiro, f é contínua para x>0 (combinação de \ln(x) e polinômio), logo é contínua em [2,3]. Calculo os valores nas extremidades:
Calcule f(2):
f(2)=6\ln(2)-\bigl(2^{2}-1\bigr)^{3}=6\ln(2)-3^{3}.
Usando \ln(2)\approx0{,}693147,
f(2)\approx 6\cdot 0{,}693147 - 27 \approx 4{,}158882 - 27 = -22{,}841118.
Calcule f(3):
f(3)=6\ln(3)-\bigl(3^{2}-1\bigr)^{3}=6\ln(3)-8^{3}.
Usando \ln(3)\approx1{,}098612,
f(3)\approx 6\cdot 1{,}098612 - 512 \approx 6{,}591672 - 512 = -505{,}408328.
Observação: ambos os valores são negativos:
f(2)\approx -22{,}841118<0,\qquad f(3)\approx -505{,}408328<0.
Portanto f(2)\cdot f(3)>0 (na verdade >0 porque os dois são negativos), logo o Teorema do Valor Intermediário NÃO garante existência de raiz em [2,3]. Conclusão: NÃO há verificação de existência de raiz em [2,3] por troca de sinal — na prática, não existe mudança de sinal entre 2 e 3.
Comentário adicional (útil para a prova): note que f(1)=6\ln(1)-(1^{2}-1)^{3}=0-0=0, ou seja, x=1 é uma raiz exata da função; essa raiz está fora do intervalo [2,3]. Então, se o enunciado afirmava que há uma raiz em [2,3], essa afirmação não se confirma pelos cálculos numéricos (a raiz conhecida está em x=1).

Passo 3

Preparação para a parte (b): explicação do método de Newton e derivada de f.
O método de Newton (para encontrar uma raiz de f) gera a sequência
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
onde f'(x) é a derivada de f. A ideia intuitiva: aproximamos f por sua reta tangente em x_{n} e tomamos a interseção dessa reta com o eixo x como próxima aproximação.
Vamos obter a derivada de f. Dada
f(x)=6\ln(x)-\bigl(x^{2}-1\bigr)^{3},
derivando termo a termo:
  • Derivada de 6\ln(x) é \dfrac{6}{x}.
  • Derivada de \bigl(x^{2}-1\bigr)^{3} é 3\bigl(x^{2}-1\bigr)^{2}\cdot 2x = 6x\bigl(x^{2}-1\bigr)^{2}.
Portanto,
\boxed{\,f'(x)=\frac{6}{x}-6x\bigl(x^{2}-1\bigr)^{2}\,}.
Observação de método: o enunciado pediu para escolher x_{0}\in[2,3]. Mesmo tendo verificado que não há troca de sinal em [2,3], podemos escolher x_{0} nesse intervalo e aplicar Newton (o método pode convergir para a raiz real mais próxima ou divergir; aqui vamos executar as 3 iterações pedidas). Vou escolher a escolha simples e natural
\boxed{\,x_{0}=2\,}
(poderíamos escolher outro valor em [2,3], mas 2 é conveniente para cálculos manuais).

Passo 4

Iteração 1 (cálculos detalhados para k=1).
Dados iniciais:
x^{(0)}=2.
Já calculamos (no Passo 2) que
f\bigl(x^{(0)}\bigr)=f(2)\approx -22{,}841118.
Calcule f'\bigl(x^{(0)}\bigr)=f'(2) usando a fórmula da derivada:
f'(2)=\frac{6}{2}-6\cdot 2\bigl(2^{2}-1\bigr)^{2}=3-12\cdot 9=3-108=-105.
Agora a fórmula de Newton:
x^{(1)}=x^{(0)}-\frac{f\bigl(x^{(0)}\bigr)}{f'\bigl(x^{(0)}\bigr)} =2-\frac{-22{,}841118}{-105}.
Calcule a fração:
\frac{-22{,}841118}{-105}=0{,}217534\\ \text{(aprox.)}
Portanto
x^{(1)}\approx 2-0{,}217534=1{,}782466.
Erro da iteração 1:
\mathrm{Erro}^{(1)}=\bigl|x^{(1)}-x^{(0)}\bigr| \approx 0{,}217534.
Calcule f\bigl(x^{(1)}\bigr) (detalhando os passos numéricos):
  • x^{(1)}\approx 1{,}782466.
  • x^{(1)2}\approx 3{,}177177 (cálculo por produto).
  • x^{(1)2}-1\approx 2{,}177177.
  • \bigl(x^{(1)2}-1\bigr)^{3}\approx 10{,}320042 (cálculo: (2{,}177177)^{3}).
  • \ln\bigl(x^{(1)}\bigr)\approx 0{,}577907 (aprox. pelo valor exponencial inverso).
  • 6\ln\bigl(x^{(1)}\bigr)\approx 3{,}467442.
Logo
f\bigl(x^{(1)}\bigr)=6\ln\bigl(x^{(1)}\bigr)-\bigl(x^{(1)2}-1\bigr)^{3} \approx 3{,}467442-10{,}320042\approx -6{,}852600.
(Arredondamentos menores são esperados; mantemos 6 casas decimais nas aproximações.)

Passo 5

Iteração 2 (cálculos detalhados para k=2).
Já temos
x^{(1)}\approx 1{,}782466,\qquad f\bigl(x^{(1)}\bigr)\approx -6{,}852600.
Calcule f'\bigl(x^{(1)}\bigr) pela fórmula
f'(x)=\frac{6}{x}-6x\bigl(x^{2}-1\bigr)^{2}.
Avaliação numérica:
  • \dfrac{6}{x^{(1)}}\approx \dfrac{6}{1{,}782466}\approx 3{,}366090.
  • \bigl(x^{(1)2}-1\bigr)^{2}\approx (2{,}177177)^{2}\approx 4{,}740101.
  • 6x^{(1)}\bigl(x^{(1)2}-1\bigr)^{2}\approx 6\cdot1{,}782466\cdot4{,}740101\approx 50{,}694270.
Portanto
f'\bigl(x^{(1)}\bigr)\approx 3{,}366090-50{,}694270\approx -47{,}328180.
Agora a fórmula de Newton:
x^{(2)}=x^{(1)}-\frac{f\bigl(x^{(1)}\bigr)}{f'\bigl(x^{(1)}\bigr)} \approx 1{,}782466 - \frac{-6{,}852600}{-47{,}328180}.
Calcule a fração:
\frac{-6{,}852600}{-47{,}328180}\approx 0{,}144818.
Logo
x^{(2)}\approx 1{,}782466-0{,}144818=1{,}637648.
Erro da iteração 2:
\mathrm{Erro}^{(2)}=\bigl|x^{(2)}-x^{(1)}\bigr|\approx 0{,}144818.
Calcule f\bigl(x^{(2)}\bigr):
  • x^{(2)}\approx 1{,}637648.
  • x^{(2)2}\approx 2{,}681888.
  • x^{(2)2}-1\approx 1{,}681888.
  • \bigl(x^{(2)2}-1\bigr)^{3}\approx 4{,}756253.
  • \ln\bigl(x^{(2)}\bigr)\approx 0{,}492909.
  • 6\ln\bigl(x^{(2)}\bigr)\approx 2{,}957456.
Assim
f\bigl(x^{(2)}\bigr)\approx 2{,}957456-4{,}756253\approx -1{,}798797.

Passo 6

Iteração 3 (cálculos detalhados para k=3).
Dados:
x^{(2)}\approx 1{,}637648,\qquad f\bigl(x^{(2)}\bigr)\approx -1{,}798797.
Calcule f'\bigl(x^{(2)}\bigr):
  • \dfrac{6}{x^{(2)}}\approx \dfrac{6}{1{,}637648}\approx 3{,}663983.
  • \bigl(x^{(2)2}-1\bigr)^{2}\approx (1{,}681888)^{2}\approx 2{,}828412.
  • 6x^{(2)}\bigl(x^{(2)2}-1\bigr)^{2}\approx 6\cdot1{,}637648\cdot 2{,}828412\approx 27{,}789 (aprox).
Logo
f'\bigl(x^{(2)}\bigr)\approx 3{,}663983 - 27{,}789 \approx -24{,}125017.
Aplicando Newton:
x^{(3)}=x^{(2)}-\frac{f\bigl(x^{(2)}\bigr)}{f'\bigl(x^{(2)}\bigr)} \approx 1{,}637648 - \frac{-1{,}798797}{-24{,}125017}.
Calculando a fração:
\frac{-1{,}798797}{-24{,}125017}\approx 0{,}074580.
Portanto
x^{(3)}\approx 1{,}637648 - 0{,}074580 = 1{,}563068.
Erro da iteração 3:
\mathrm{Erro}^{(3)}=\bigl|x^{(3)}-x^{(2)}\bigr|\approx 0{,}074580.
Calcule f\bigl(x^{(3)}\bigr) para ver o quão próximo estamos:
  • x^{(3)}\approx 1{,}563068.
  • x^{(3)2}\approx 2{,}443177.
  • x^{(3)2}-1\approx 1{,}443177.
  • \bigl(x^{(3)2}-1\bigr)^{3}\approx 3{,}005700.
  • \ln\bigl(x^{(3)}\bigr)\approx 0{,}447021.
  • 6\ln\bigl(x^{(3)}\bigr)\approx 2{,}682126.
Logo
f\bigl(x^{(3)}\bigr)\approx 2{,}682126 - 3{,}005700 \approx -0{,}323574.
Observação: os valores de f\bigl(x^{(k)}\bigr) estão ficando menos negativos ( -22{,}84\to -6{,}85\to -1{,}80\to -0{,}32), indicando que as aproximações se aproximam da raiz real (que sabemos ser 1 exata), mas ainda não convergiram em apenas 3 iterações começando de x_{0}=2.

Passo 7

Tabela resumo (valores arredondados, 6 casas decimais onde cabível):
(k) x^{(k)} f^{(k)}=f(x^{(k)}) (\mathrm{Erro}^{(k)}=\bigl x{(k)}-x{(k-1)}\bigr )
0 x^{(0)}=2{,}000000 f^{(0)}\approx -22{,}841118
1 x^{(1)}\approx 1{,}782466 f^{(1)}\approx -6{,}852600 \mathrm{Erro}^{(1)}\approx 0{,}217534
2 x^{(2)}\approx 1{,}637648 f^{(2)}\approx -1{,}798797 \mathrm{Erro}^{(2)}\approx 0{,}144818
3 x^{(3)}\approx 1{,}563068 f^{(3)}\approx -0{,}323574 \mathrm{Erro}^{(3)}\approx 0{,}074580
Comentários finais pedagógicos e de ânimo: Newton costuma convergir rápido quando a aproximação inicial está razoavelmente próxima da raiz; aqui começamos em x_0=2 (relativamente longe da raiz exata x=1) e já vemos redução substancial do valor absoluto de f e dos erros entre iterações. Se você continuar as iterações (ou escolher uma aproximação inicial mais perto de 1), a convergência será mais rápida. Está indo bem — três iterações manuais dão uma boa intuição de comportamento do método.

Resposta

a) Não: f(2)\approx -22{,}841118 e f(3)\approx -505{,}408328, ambas negativas, logo não há troca de sinal em [2,3] e o TVI não garante raiz em [2,3].
b) Usando x_{0}=2 e três iterações de Newton: x^{(1)}\approx 1{,}782466, x^{(2)}\approx 1{,}637648, x^{(3)}\approx 1{,}563068.

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