Questão (3 pontos): A partir da tabela abaixo:
3,6
4,0
4,5
5,0
5,5
1,8
3,9
9,0
25,1
57,2
a.) Apresentar o polinômio de Lagrange de Grau 4;
b.) Calcule f(4.3) utilizando o polinômio de Lagrange de Grau 4.
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3,6 | 4,0 | 4,5 | 5,0 | 5,5 |
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1,8 | 3,9 | 9,0 | 25,1 | 57,2 |
b.) Calcule f(4.3) utilizando o polinômio de Lagrange de Grau 4.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Apresentar o polinômio de Lagrange de grau 4 que interpola os cinco pontos fornecidos.
- Calcular
usando esse polinômio.
Dados (retirados da tabela do enunciado):
Passo 2
Breve aula sobre o método de Lagrange (sem pular etapas).
- Objetivo: construir um polinômio
de grau tal que para . - Fórmula de Lagrange: definimos os polinômios base
por
onde cada
vale
em
e
em todos os outros
(
). Então o polinômio interpolador é
Explicação das variáveis:
é a variável independente;
são os nós (valores onde conhecemos
);
são os valores da função nesses nós. Cada fração
é um fator que anula o polinômio em
e vale
em
.
Passo 3
Vou numerar os nós e repetir as diferenças necessárias para calcular os denominadores de cada
.
Nós:
Nós:
Para cada
o denominador é
. Vou calcular esses produtos explicitamente (passo a passo aritmético).
Passo 4
Cálculo dos denominadores (mostrando cada diferença):
- Para
:
Produto:
- Para
:
Produto:
- Para
:
Produto:
- Para
:
Produto:
- Para
:
Produto:
Passo 5
Escrevo explicitamente cada
usando os denominadores calculados (cada produto no numerador é sobre
):
Passo 6
Agora formamos o polinômio de Lagrange de grau 4:
Substituindo os
dados:
onde cada
é a expressão do passo anterior. Essa é a forma padrão do polinômio de Lagrange (já com denominadores numéricos).
Passo 7
Agora vamos calcular
avaliando cada
em
. Primeiro calculo as diferenças
:
Passo 8
Calculo os numeradores de cada
(produto dos fatores correspondentes) e divido pelo denominador obtido no passo 4:
-
: numerador .
-
: numerador .
-
: numerador .
-
: numerador .
-
: numerador .
Verificação rápida (controle): soma das bases
. Ótimo — consistente com propriedade
.
Passo 9
Agora calculo cada termo
e somo para obter
:
Somando:
Arredondando com precisão razoável (3 casas decimais):
.