Questão (3 pontos): A partir da tabela abaixo:
x 3,6 4,0 4,5 5,0 5,5
f(x) 1,8 3,9 9,0 25,1 57,2
a.) Apresentar o polinômio de Lagrange de Grau 4;
b.) Calcule f(4.3) utilizando o polinômio de Lagrange de Grau 4.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Apresentar o polinômio de Lagrange de grau 4 que interpola os cinco pontos fornecidos.
  2. Calcular f(4,3) usando esse polinômio.
Dados (retirados da tabela do enunciado):
x_0=3,6,\quad f_0=1,8
x_1=4,0,\quad f_1=3,9
x_2=4,5,\quad f_2=9,0
x_3=5,0,\quad f_3=25,1
x_4=5,5,\quad f_4=57,2

Passo 2

Breve aula sobre o método de Lagrange (sem pular etapas).
  • Objetivo: construir um polinômio P(x) de grau \le 4 tal que P(x_j)=f_j para j=0,\dots,4.
  • Fórmula de Lagrange: definimos os polinômios base \;L_j(x)\; por
L_j(x)=\prod_{\substack{k=0\k\ne j}}^{4}\frac{x-x_k}{x_j-x_k},
onde cada L_j vale 1 em x_j e 0 em todos os outros x_k ( k\ne j). Então o polinômio interpolador é
P(x)=\sum_{j=0}^{4} f_j\,L_j(x).
Explicação das variáveis: x é a variável independente; x_j são os nós (valores onde conhecemos f); f_j são os valores da função nesses nós. Cada fração (x-x_k)/(x_j-x_k) é um fator que anula o polinômio em x_k e vale 1 em x_j.

Passo 3

Vou numerar os nós e repetir as diferenças necessárias para calcular os denominadores de cada L_j.
Nós:
x_0=3,6,\; x_1=4,0,\; x_2=4,5,\; x_3=5,0,\; x_4=5,5.
Para cada j o denominador é \prod_{k\ne j}(x_j-x_k). Vou calcular esses produtos explicitamente (passo a passo aritmético).

Passo 4

Cálculo dos denominadores (mostrando cada diferença):
  • Para j=0:
x_0-x_1=3,6-4,0=-0,4,
x_0-x_2=3,6-4,5=-0,9,
x_0-x_3=3,6-5,0=-1,4,
x_0-x_4=3,6-5,5=-1,9.
Produto:
(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)(x_0-x_4)=(-0,4)(-0,9)(-1,4)(-1,9)=0,9576.
  • Para j=1:
x_1-x_0=0,4,\quad x_1-x_2=4,0-4,5=-0,5,\quad x_1-x_3=-1,0,\quad x_1-x_4=-1,5.
Produto:
0,4\cdot(-0,5)\cdot(-1,0)\cdot(-1,5)=-0,3.
  • Para j=2:
x_2-x_0=0,9,\quad x_2-x_1=0,5,\quad x_2-x_3=-0,5,\quad x_2-x_4=-1,0.
Produto:
0,9\cdot0,5\cdot(-0,5)\cdot(-1,0)=0,225.
  • Para j=3:
x_3-x_0=1,4,\quad x_3-x_1=1,0,\quad x_3-x_2=0,5,\quad x_3-x_4=-0,5.
Produto:
1,4\cdot1,0\cdot0,5\cdot(-0,5)=-0,35.
  • Para j=4:
x_4-x_0=1,9,\quad x_4-x_1=1,5,\quad x_4-x_2=1,0,\quad x_4-x_3=0,5.
Produto:
1,9\cdot1,5\cdot1,0\cdot0,5=1,425.

Passo 5

Escrevo explicitamente cada L_j(x) usando os denominadores calculados (cada produto no numerador é sobre k\ne j):
L_0(x)=\frac{(x-4,0)(x-4,5)(x-5,0)(x-5,5)}{0,9576},
L_1(x)=\frac{(x-3,6)(x-4,5)(x-5,0)(x-5,5)}{-0,3},
L_2(x)=\frac{(x-3,6)(x-4,0)(x-5,0)(x-5,5)}{0,225},
L_3(x)=\frac{(x-3,6)(x-4,0)(x-4,5)(x-5,5)}{-0,35},
L_4(x)=\frac{(x-3,6)(x-4,0)(x-4,5)(x-5,0)}{1,425}.

Passo 6

Agora formamos o polinômio de Lagrange de grau 4:
P(x)=\sum_{j=0}^{4} f_j\,L_j(x).
Substituindo os f_j dados:
P(x)=1,8\,L_0(x)+3,9\,L_1(x)+9,0\,L_2(x)+25,1\,L_3(x)+57,2\,L_4(x),
onde cada L_j(x) é a expressão do passo anterior. Essa é a forma padrão do polinômio de Lagrange (já com denominadores numéricos).

Passo 7

Agora vamos calcular P(4,3) avaliando cada L_j em x=4,3. Primeiro calculo as diferenças 4,3-x_k:
4,3-3,6=0,7;\quad 4,3-4,0=0,3;\quad 4,3-4,5=-0,2;\quad 4,3-5,0=-0,7;\quad 4,3-5,5=-1,2.

Passo 8

Calculo os numeradores de cada L_j(4,3) (produto dos fatores correspondentes) e divido pelo denominador obtido no passo 4:
  • L_0(4,3): numerador (4,3-4,0)(4,3-4,5)(4,3-5,0)(4,3-5,5)=0,3\cdot(-0,2)\cdot(-0,7)\cdot(-1,2)=-0,0504.
L_0(4,3)=\frac{-0,0504}{0,9576}\approx-0,052628.
  • L_1(4,3): numerador (4,3-3,6)(4,3-4,5)(4,3-5,0)(4,3-5,5)=0,7\cdot(-0,2)\cdot(-0,7)\cdot(-1,2)=-0,1176.
L_1(4,3)=\frac{-0,1176}{-0,3}=0,392.
  • L_2(4,3): numerador (4,3-3,6)(4,3-4,0)(4,3-5,0)(4,3-5,5)=0,7\cdot0,3\cdot(-0,7)\cdot(-1,2)=0,1764.
L_2(4,3)=\frac{0,1764}{0,225}=0,784.
  • L_3(4,3): numerador (4,3-3,6)(4,3-4,0)(4,3-4,5)(4,3-5,5)=0,7\cdot0,3\cdot(-0,2)\cdot(-1,2)=0,0504.
L_3(4,3)=\frac{0,0504}{-0,35}\approx-0,144.
  • L_4(4,3): numerador (4,3-3,6)(4,3-4,0)(4,3-4,5)(4,3-5,0)=0,7\cdot0,3\cdot(-0,2)\cdot(-0,7)=0,0294.
L_4(4,3)=\frac{0,0294}{1,425}\approx0,0206316.
Verificação rápida (controle): soma das bases \sum_{j=0}^4 L_j(4,3)\approx -0,052628+0,392+0,784-0,144+0,0206316\approx1,00000. Ótimo — consistente com propriedade \sum L_j(x)=1.

Passo 9

Agora calculo cada termo f_jL_j(4,3) e somo para obter P(4,3):
\begin{aligned} &1,8\cdot L_0(4,3)\approx 1,8\cdot(-0,052628)\approx-0,09473,\\\ &3,9\cdot L_1(4,3)=3,9\cdot0,392=1,5288,\\\ &9,0\cdot L_2(4,3)=9,0\cdot0,784=7,056,\\\ &25,1\cdot L_3(4,3)=25,1\cdot(-0,144)\approx-3,6144,\\\ &57,2\cdot L_4(4,3)=57,2\cdot0,0206316\approx1,1800. \end{aligned}
Somando:
P(4,3)\approx -0,09473+1,5288+7,056-3,6144+1,1800\approx6,0557.
Arredondando com precisão razoável (3 casas decimais): P(4,3)\approx6,056.

Resposta

P(x)=1,8\cdot\frac{(x-4,0)(x-4,5)(x-5,0)(x-5,5)}{0,9576} +3,9\cdot\frac{(x-3,6)(x-4,5)(x-5,0)(x-5,5)}{-0,3}
\qquad+9,0\cdot\frac{(x-3,6)(x-4,0)(x-5,0)(x-5,5)}{0,225} +25,1\cdot\frac{(x-3,6)(x-4,0)(x-4,5)(x-5,5)}{-0,35}
\qquad+57,2\cdot\frac{(x-3,6)(x-4,0)(x-4,5)(x-5,0)}{1,425}
P(4,3)\approx6,056

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