Questão 2: ( 2,5 pontos) Dado o sistema
\left[\begin{array}{lll} 5 & 1 & 1 \\\\ 3 & 4 & 1 \\\\ 3 & 3 & 6 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 5 \\\\ 6 \\\\ 0 \end{array}\right]
Resolva por Gauss-Seidel começando por X^{(0)}=(0.9,0.9,-0.9)^{T} com tolerância de erro \varepsilon \leq 5 \times 10^{-3}.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
\begin{bmatrix} 5 & 1 & 1\\\\ 3 & 4 & 1\\\\ 3 & 3 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\\ x_{2}\\\ x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5\\\\ 6\\\\ 0 \end{bmatrix}
e pede a solução pelo método de Gauss–Seidel, partindo de
X^{(0)} = (0.9,\;0.9,\;-0.9)^T \quad\text{com tolerância}\quad \varepsilon \le 5\times10^{-3}.â
O conteúdo é método iterativo em álgebra linear; vamos usar as fórmulas de atualização que aproveitam valores já atualizados a cada passo e checar o critério de parada pelo erro máximo entre iterações.

Passo 2

Em Gauss–Seidel, a cada iteração k atualizamos
x_{1}^{(k)} = \frac{1}{5}\bigl(5 - x_{2}^{(k-1)} - x_{3}^{(k-1)}\bigr),
x_{2}^{(k)} = \frac{1}{4}\bigl(6 - 3\,x_{1}^{(k)} - x_{3}^{(k-1)}\bigr),
x_{3}^{(k)} = \frac{1}{6}\bigl(0 - 3\,x_{1}^{(k)} - 3\,x_{2}^{(k)}\bigr).
O critério de parada é
\max_{i=1,2,3}\bigl|x_{i}^{(k)} - x_{i}^{(k-1)}\bigr|\le 5\times10^{-3}.

Passo 3

Para k=1, usando X^{(0)}=(0.9,0.9,-0.9)^T:
x_{1}^{(1)} = \frac{5 - 0.9 - (-0.9)}{5} = 1.0, \quad x_{2}^{(1)} = \frac{6 - 3\cdot1.0 - (-0.9)}{4} = 0.975,
x_{3}^{(1)} = \frac{0 - 3\cdot1.0 - 3\cdot0.975}{6} = -0.9875.
Logo
X^{(1)} = (1.0,\;0.975,\;-0.9875)^T,
e
\max|X^{(1)}-X^{(0)}| = 0.1 > 5\times10^{-3},
portanto continua.

Passo 4

Para k=2, usando X^{(1)}:
x_{1}^{(2)} = \frac{5 - 0.975 - (-0.9875)}{5} = 1.0025, \quad x_{2}^{(2)} = \frac{6 - 3\cdot1.0025 - (-0.9875)}{4} = 0.995,
x_{3}^{(2)} = \frac{0 - 3\cdot1.0025 - 3\cdot0.995}{6} = -0.99875.
Logo
X^{(2)} = (1.0025,\;0.995,\;-0.99875)^T,
e
\max|X^{(2)}-X^{(1)}| = 0.02 > 5\times10^{-3},
ainda não convergiu.

Passo 5

Para k=3, usando X^{(2)}:
x_{1}^{(3)} = \frac{5 - 0.995 - (-0.99875)}{5} = 1.00075, \quad x_{2}^{(3)} = \frac{6 - 3\cdot1.00075 - (-0.99875)}{4} = 0.999125,
x_{3}^{(3)} = \frac{0 - 3\cdot1.00075 - 3\cdot0.999125}{6} = -0.9999375.
Assim
X^{(3)} = (1.00075,\;0.999125,\;-0.9999375)^T,
e
\max|X^{(3)}-X^{(2)}| = 0.004125 < 5\times10^{-3},
logo atingimos a tolerância.

Resposta

A solução aproximada é
X \approx (1.00075,\;0.999125,\;-0.9999375)^T,
obtida em três iterações.

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