Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando o método iterativo de Gauss-Jacobi. Para cada sistema, verifique a condição de convergência e realize ao menos 4 iterações com aproximação inicial x^{0}=(0,0,0) e usado 4 casas decimais.
\left\{\begin{array}{r}8 x_{1}+x_{2}-x_{3}=8, \\\\ 2 x_{1}+7 x_{2}+2 x_{3}=24, \\\ x_{1}-3 x_{2}+12 x_{3}=3 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema
\begin{cases} 8x_{1}+x_{2}-x_{3}=8,\\\\ 2x_{1}+7x_{2}+2x_{3}=24,\\\ x_{1}-3x_{2}+12x_{3}=3 \end{cases}
pelo método iterativo de Gauss–Jacobi. Vamos verificar convergência e então aplicar 4 iterações a partir de x^{(0)}=(0,0,0), arredondando cada valor a 4 casas decimais.

Passo 2

Verificamos o critério de dominância diagonal em
A = \begin{pmatrix} 8 & 1 & -1\\\\ 2 & 7 & 2\\\\ 1 & -3 & 12 \end{pmatrix}.
Linha 1: \lvert8\rvert> \lvert1\rvert+\lvert-1\rvert=2.
Linha 2: \lvert7\rvert> \lvert2\rvert+\lvert2\rvert=4.
Linha 3: \lvert12\rvert> \lvert1\rvert+\lvert-3\rvert=4.
Como há dominância estrita em todas as linhas, o método de Jacobi converge.

Passo 3

Isolando cada incógnita, obtemos as fórmulas iterativas
x_{1}^{(k+1)}=\frac{8 - x_{2}^{(k)} + x_{3}^{(k)}}{8},\quad x_{2}^{(k+1)}=\frac{24 - 2\,x_{1}^{(k)} - 2\,x_{3}^{(k)}}{7},\quad x_{3}^{(k+1)}=\frac{3 - x_{1}^{(k)} + 3\,x_{2}^{(k)}}{12}.

Passo 4

Com x^{(0)}=(0,0,0) e arredondando a 4 casas decimais:
Para k=0\to1:
x_{1}^{(1)}=\frac{8-0+0}{8}=1,0000,\quad x_{2}^{(1)}=\frac{24-0-0}{7}=3,4286,\quad x_{3}^{(1)}=\frac{3-0+0}{12}=0,2500.
Para k=1\to2:
x_{1}^{(2)}=\frac{8-3,4286+0,2500}{8}=0,6027,\quad x_{2}^{(2)}=\frac{24-2\cdot1,0000-2\cdot0,2500}{7}=3,0714,\quad x_{3}^{(2)}=\frac{3-1,0000+3\cdot3,4286}{12}=1,0238.
Para k=2\to3:
x_{1}^{(3)}=\frac{8-3,0714+1,0238}{8}=0,7441,\quad x_{2}^{(3)}=\frac{24-2\cdot0,6027-2\cdot1,0238}{7}=2,9639,\quad x_{3}^{(3)}=\frac{3-0,6027+3\cdot3,0714}{12}=0,9676.
Para k=3\to4:
x_{1}^{(4)}=\frac{8-2,9639+0,9676}{8}=0,7505,\quad x_{2}^{(4)}=\frac{24-2\cdot0,7441-2\cdot0,9676}{7}=2,9395,\quad x_{3}^{(4)}=\frac{3-0,7441+3\cdot2,9639}{12}=0,9290.

Resposta

x^{(1)}=(1,0000,\;3,4286,\;0,2500)
x^{(2)}=(0,6027,\;3,0714,\;1,0238)
x^{(3)}=(0,7441,\;2,9639,\;0,9676)
x^{(4)}=(0,7505,\;2,9395,\;0,9290)

Exercícios relacionados