Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando o método iterativo de Gauss-Jacobi. Para cada sistema, verifique a condição de convergência e realize ao menos 4 iterações com aproximação inicial x^{0}=(0,0,0) e usado 4 casas decimais.
\left\{\begin{array}{r}5 x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=12, \\\\ -3 x_{1}+9 x_{2}+2 x_{3}=-6, \\\\ 2 x_{1}-x_{2}+7 x_{3}=14 .\end{array}\right.

Passo 1

O sistema dado é
\begin{cases} 5x_{1}+2x_{2}-x_{3}=12,\\\\ -3x_{1}+9x_{2}+2x_{3}=-6,\\\\ 2x_{1}-x_{2}+7x_{3}=14, \end{cases}
e queremos usar o método iterativo de Gauss–Jacobi com x^{(0)}=(0,0,0) e 4 casas decimais. O conteúdo envolve isolar cada variável na sua equação (diagonal dominante) e iterar.

Passo 2

Verificamos a convergência pelo critério de dominância diagonal:
– Linha 1: \lvert5\rvert> \lvert2\rvert+\lvert-1\rvert pois 5>3.
– Linha 2: \lvert9\rvert> \lvert{-3}\rvert+\lvert2\rvert pois 9>5.
– Linha 3: \lvert7\rvert> \lvert2\rvert+\lvert{-1}\rvert pois 7>3.
Como todas as linhas são estritamente dominantes, o método converge.

Passo 3

Isolando cada variável em função das outras, obtemos o esquema de iteração
x_{1}^{(k+1)}=\frac{12-2\,x_{2}^{(k)}+x_{3}^{(k)}}{5},\quad x_{2}^{(k+1)}=\frac{-6+3\,x_{1}^{(k)}-2\,x_{3}^{(k)}}{9},\quad x_{3}^{(k+1)}=\frac{14-2\,x_{1}^{(k)}+x_{2}^{(k)}}{7}.

Passo 4

Iteração k=0\to1 com x^{(0)}=(0,0,0):
x_{1}^{(1)}=\frac{12-2\cdot0+0}{5}=2{,}4000,\quad x_{2}^{(1)}=\frac{-6+3\cdot0-2\cdot0}{9}=-0{,}6667,\quad x_{3}^{(1)}=\frac{14-2\cdot0+0}{7}=2{,}0000.
Logo x^{(1)}=(2{,}4000,\,-0{,}6667,\,2{,}0000).

Passo 5

Iteração k=1\to2 usando x^{(1)}:
x_{1}^{(2)}=\frac{12-2(-0{,}6667)+2{,}0000}{5}=3{,}0667,
x_{2}^{(2)}=\frac{-6+3(2{,}4000)-2(2{,}0000)}{9}=-0{,}3111,
x_{3}^{(2)}=\frac{14-2(2{,}4000)+(-0{,}6667)}{7}=1{,}2190.
Logo x^{(2)}=(3{,}0667,\,-0{,}3111,\,1{,}2190).

Passo 6

Iteração k=2\to3 usando x^{(2)}:
x_{1}^{(3)}=\frac{12-2(-0{,}3111)+1{,}2190}{5}=2{,}7682,
x_{2}^{(3)}=\frac{-6+3(3{,}0667)-2(1{,}2190)}{9}=0{,}0847,
x_{3}^{(3)}=\frac{14-2(3{,}0667)+(-0{,}3111)}{7}=1{,}0794.
Logo x^{(3)}=(2{,}7682,\,0{,}0847,\,1{,}0794).

Passo 7

Iteração k=3\to4 usando x^{(3)}:
x_{1}^{(4)}=\frac{12-2(0{,}0847)+1{,}0794}{5}=2{,}5820,
x_{2}^{(4)}=\frac{-6+3(2{,}7682)-2(1{,}0794)}{9}=0{,}0162,
x_{3}^{(4)}=\frac{14-2(2{,}7682)+0{,}0847}{7}=1{,}2212.
Logo x^{(4)}=(2{,}5820,\,0{,}0162,\,1{,}2212).

Resposta

A aproximação após 4 iterações pelo método de Gauss–Jacobi é
x^{(4)} = (2{,}5820,\;0{,}0162,\;1{,}2212).

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