Questão 5: (2,5 pontos) Seja a integral dada por \int_{0}^{1} \frac{2}{x-4} d x.
(a) Calcule o número mínimo de subdivisões de [ 0,1 ] para garantir um erro de truncamento menor que 10^{-5} pela Regra de Simpson repetida.
(b) Calcule a integral usando a Regra de Simpson repetida com o número de subintervalos obtido no item (a).

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int_{0}^{1}\frac{2}{x-4}\,dx
e divide-se em dois objetivos: (a) determinar o número mínimo de subintervalos n na Regra de Simpson composta para que o erro de truncamento seja menor que 10^{-5}; (b) calcular de fato essa integral usando a Regra de Simpson composta com esse n. Vamos usar o critério de erro da Regra de Simpson e depois aplicar a fórmula composta.

Passo 2

Para estimar o erro precisamos da derivada de quarta ordem de f(x)=\tfrac{2}{x-4}. Calculando sucessivamente:
f'(x)=-\frac{2}{(x-4)^2},\quad f''(x)=\frac{4}{(x-4)^3},\quad f^{(3)}(x)=-\frac{12}{(x-4)^4},\quad f^{(4)}(x)=\frac{48}{(x-4)^5}.
Na faixa x\in[0,1] o valor absoluto \bigl|f^{(4)}(x)\bigr|=48/|x-4|^5 é máximo em x=1, onde |x-4|=3. Logo
M_4=\max_{[0,1]}\bigl|f^{(4)}(x)\bigr| =\frac{48}{3^5} =\frac{48}{243} =\frac{16}{81}.

Passo 3

A cota de erro para a Regra de Simpson composta em n subintervalos (com h=(b-a)/n) é
\bigl|E_S\bigr|\le \frac{b-a}{180}\,h^4\,M_4.
Aqui a=0, b=1 e queremos \bigl|E_S\bigr|<10^{-5}. Substituindo,
1\cdot\frac{h^4}{180}\,\frac{16}{81}<10^{-5} \quad\Longrightarrow\quad h^4<10^{-5}\,\frac{180\cdot81}{16} =10^{-5}\times\frac{14580}{16} =10^{-5}\times 911{,}25 =9{,}1125\times10^{-3}.
Tomando raiz quarta,
h<\bigl(9{,}1125\times10^{-3}\bigr)^{1/4}\approx0{,}3089.

Passo 4

Como h=(b-a)/n=1/n, temos n>1/0{,}3089\approx3{,}24. E n deve ser par na Regra de Simpson composta, então o menor n inteiro e par que satisfaz é
n=4.

Passo 5

Agora aplicamos a Regra de Simpson composta com n=4 e h=1/4=0{,}25. Os pontos são
x_0=0,\; x_1=0{,}25,\; x_2=0{,}5,\; x_3=0{,}75,\; x_4=1
e f(x_i)=2/(x_i-4)
f_0=-0{,}5,\; f_1=-0{,}5333333,\; f_2=-0{,}5714286,\; f_3=-0{,}6153846,\; f_4=-0{,}6666667.
A soma de Simpson é
S=\frac{h}{3}\bigl(f_0+4f_1+2f_2+4f_3+f_4\bigr) =\frac{0{,}25}{3}\bigl(-0{,}5+4(-0{,}5333333)+2(-0{,}5714286)+4(-0{,}6153846)+(-0{,}6666667)\bigr) \approx-0{,}575364.

Resposta

(a) n=4
(b) \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{2}{x-4}\,dx\approx -0{,}57536

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