Questão 1 (2 pontos)
Expresse
como uma expressão algébrica.
Expresse
Passo 1
O que o enunciado pede: expressar a função
como uma expressão algébrica (isto é, usando operações algébricas em
, raízes etc.).
Informações dadas/importantes: aparece dentro de
, portanto devemos considerar que
pertence ao domínio de
, isto é
. Não faremos contas neste passo, só organizamos o que foi pedido.
Informações dadas/importantes:
Passo 2
Usamos a fórmula de adição para seno, que é uma ferramenta padrão e muito útil. A fórmula diz que, para quaisquer ângulos
e
,
Aqui, basta aplicar essa identidade com
e
. Assim,
Passo 3
Calculemos
. Por definição,
é o ângulo no intervalo
cujo tangente é
. O ângulo conhecido que satisfaz
é
. Como
está no intervalo principal de
, temos
Passo 4
Agora avaliamos
e
de
. É clássico que
Explicação rápida: num triângulo isósceles retângulo de catetos iguais, os catetos valem
e a hipotenusa vale
, então seno e cosseno de
(que é
) são
.
Passo 5
Avalie os termos que envolvem
. Defina
. Por definição,
e
. Logo
Para
, podemos usar a identidade pitagórica
. Como
, temos
Como
, o seno nesse intervalo é não-negativo, portanto
(Observação: a raiz quadrada aqui é a raiz principal, não-negativa.)
Passo 6
Substituímos tudo na expressão obtida no Passo 2. Temos
Fatorando
obtemos
Também podemos escrever
, ficando
Passo 7
Conferência rápida de domínio e sinais: lembramos que esta expressão algébrica foi deduzida sob a hipótese
(para que
faça sentido). O sinal positivo na raiz vem da escolha do seno de
que é não-negativo em
, então a expressão final está correta para todo
.