Questão 1 (2 pontos)
Expresse
\operatorname{sen}(\arctan 1+\operatorname{arccos} x) como uma expressão algébrica.

Passo 1

O que o enunciado pede: expressar a função \operatorname{sen}(\arctan 1+\operatorname{arccos} x) como uma expressão algébrica (isto é, usando operações algébricas em x, raízes etc.).
Informações dadas/importantes: x aparece dentro de \operatorname{arccos} x, portanto devemos considerar que x pertence ao domínio de \operatorname{arccos}, isto é x\in[-1,1]. Não faremos contas neste passo, só organizamos o que foi pedido.

Passo 2

Usamos a fórmula de adição para seno, que é uma ferramenta padrão e muito útil. A fórmula diz que, para quaisquer ângulos A e B,
\operatorname{sen}(A+B)=\operatorname{sen}A\cdot\cos B+\cos A\cdot\operatorname{sen}B.
Aqui, basta aplicar essa identidade com A=\arctan 1 e B=\operatorname{arccos} x. Assim,
\operatorname{sen}(\arctan 1+\operatorname{arccos} x)=\operatorname{sen}(\arctan 1)\cdot\cos(\operatorname{arccos} x)+\cos(\arctan 1)\cdot\operatorname{sen}(\operatorname{arccos} x).

Passo 3

Calculemos \arctan 1. Por definição, \arctan 1 é o ângulo no intervalo (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}) cujo tangente é 1. O ângulo conhecido que satisfaz \tan \theta=1 é \theta=\tfrac{\pi}{4}. Como \tfrac{\pi}{4} está no intervalo principal de \arctan, temos
\arctan 1=\frac{\pi}{4}.

Passo 4

Agora avaliamos \operatorname{sen} e \cos de \tfrac{\pi}{4}. É clássico que
\operatorname{sen}\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Explicação rápida: num triângulo isósceles retângulo de catetos iguais, os catetos valem 1 e a hipotenusa vale \sqrt{2}, então seno e cosseno de 45^\circ (que é \tfrac{\pi}{4}) são 1/\sqrt{2}=\sqrt{2}/2.

Passo 5

Avalie os termos que envolvem \operatorname{arccos} x. Defina \theta=\operatorname{arccos} x. Por definição, \theta\in[0,\pi] e \cos\theta=x. Logo
\cos(\operatorname{arccos} x)=x.
Para \operatorname{sen}(\operatorname{arccos} x)=\operatorname{sen}\theta, podemos usar a identidade pitagórica \operatorname{sen}^2\theta+\cos^2\theta=1. Como \cos\theta=x, temos
\operatorname{sen}^2\theta=1-x^2.
Como \theta=\operatorname{arccos} x\in[0,\pi], o seno nesse intervalo é não-negativo, portanto
\operatorname{sen}(\operatorname{arccos} x)=\sqrt{1-x^2}.
(Observação: a raiz quadrada aqui é a raiz principal, não-negativa.)

Passo 6

Substituímos tudo na expressão obtida no Passo 2. Temos
\operatorname{sen}(\arctan 1+\operatorname{arccos} x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{1-x^2}.
Fatorando \dfrac{\sqrt{2}}{2} obtemos
\operatorname{sen}(\arctan 1+\operatorname{arccos} x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x+\sqrt{1-x^2}\right).
Também podemos escrever \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, ficando
\operatorname{sen}(\arctan 1+\operatorname{arccos} x)=\frac{x+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{2}}.

Passo 7

Conferência rápida de domínio e sinais: lembramos que esta expressão algébrica foi deduzida sob a hipótese x\in[-1,1] (para que \operatorname{arccos} x faça sentido). O sinal positivo na raiz vem da escolha do seno de \operatorname{arccos} x que é não-negativo em [0,\pi], então a expressão final está correta para todo x\in[-1,1].

Resposta

\displaystyle \frac{x+\sqrt{1-x^{2}}}{\sqrt{2}}

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