Questão 2 (2 pontos)
Encontrar as soluções (em radianos) da equação 4 \sqrt{3} \operatorname{sec} \theta=-8, no intervalo [0,2 \pi).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todas as soluções (em radianos) da equação
4\sqrt{3}\operatorname{sec}\theta = -8
no intervalo [0,2\pi).
Informações dadas: a equação acima e o intervalo fechado à esquerda e aberto à direita [0,2\pi).
O que devemos devolver: todos os valores \theta em [0,2\pi) que satisfazem a equação.

Passo 2

Primeiro, lembro o que é \operatorname{sec}\theta: por definição,
\operatorname{sec}\theta=\frac{1}{\cos\theta}.
Agora vou isolar \operatorname{sec}\theta na equação. Dividindo ambos os lados de \;4\sqrt{3}\operatorname{sec}\theta=-8\; por 4\sqrt{3} obtemos
\operatorname{sec}\theta = -\frac{8}{4\sqrt{3}}.
Simplificando a fração:
\operatorname{sec}\theta = -\frac{2}{\sqrt{3}}.

Passo 3

Usando \operatorname{sec}\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}, escrevo
\frac{1}{\cos\theta} = -\frac{2}{\sqrt{3}}.
Agora inverto ambos os lados para obter \cos\theta (lembrando que isso é válido pois o lado direito não é zero):
\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}.
Explicação didática: inverter uma igualdade de recíprocos faz \cos\theta ser o recíproco de -\dfrac{2}{\sqrt{3}}, o que simplifica para -\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Agora identifico as soluções para \cos\theta = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Na circunferência unitária, \cos corresponde à coordenada x. O valor \dfrac{\sqrt{3}}{2} é o cosseno do ângulo de referência \dfrac{\pi}{6} (ou 30^\circ). Como precisamos do cosseno negativo, estamos nos quadrantes II e III. Os ângulos correspondentes são:
\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}
e
\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}.
Esses dois ângulos estão dentro do intervalo [0,2\pi).

Passo 5

Verificação rápida: para \theta=\dfrac{5\pi}{6} ou \theta=\dfrac{7\pi}{6} temos \cos\theta=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Então
\operatorname{sec}\theta=\frac{1}{\cos\theta}=-\frac{2}{\sqrt{3}}
e multiplicando por 4\sqrt{3} volta-se a obter -8, como no enunciado. Além disso, \cos\theta\neq 0 nesses ângulos, logo \operatorname{sec}\theta está bem definido.

Resposta

\dfrac{5\pi}{6}
\dfrac{7\pi}{6}

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