Questão 2 ( 3,0 pontos) Use o método de Newton para aproximar a raíz da equação x^{3}+1=3 x no intervalo [1,2]. Usando x_{0}=2 encontre as aproximações x_{1}, x_{2}, x_{3} e x_{4} (usando 6 casas decimais com trucamento).

Passo 1

O enunciado pede: usar o método de Newton para aproximar a raiz da equação \,x^{3}+1=3x\, no intervalo [1,2], começando em x_{0}=2, e calcular as aproximações \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\, apresentando cada uma com 6 casas decimais usando trucamento.
Informações dadas e o que precisamos obter:
  • Equação: \;x^{3}+1=3x\;.
  • Ponto inicial: \;x_{0}=2\;.
  • Método: Newton (iterar e a cada iteração truncar o resultado para 6 casas decimais e usar esse truncamento como ponto para a próxima iteração).
  • Resultado pedido: \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\, com 6 casas decimais por truncamento.

Passo 2

Breve aula sobre o método de Newton (do jeito que a gente entende na prova): seja f(x) uma função com derivada f'(x) e suponha que queremos uma raiz de f. A iteração de Newton é dada por
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Aqui a ideia é aproximar f por sua reta tangente em x_n e achar onde essa reta corta o eixo x; esse corte vira x_{n+1}. Na prova: escreva a fórmula, calcule f e f' em x_n, subtraia o quociente e depois, conforme o enunciado, trucar para 6 casas decimais antes de usar na próxima iteração.

Passo 3

Identificar f e f' para o nosso problema:
f(x)=x^{3}+1-3x,
f'(x)=3x^{2}-3.
Vamos aplicar a fórmula
x_{n+1}=x_{n}-\frac{x_{n}^{3}+1-3x_{n}}{3x_{n}^{2}-3}.
Em todas as contas eu vou mostrar como computar potências e produtos de modo que você consiga reproduzir na prova sem calculadora (usando decomposição em inteiros e truncamento final). Lembre que “trucamento para 6 casas decimais” significa: cortar os dígitos após a 6ª casa decimal (não arredondar).

Passo 4

Começamos com x_{0}=2.
Calcule f(2) e f'(2):
f(2)=2^{3}+1-3\cdot 2=8+1-6=3,
f'(2)=3\cdot 2^{2}-3=3\cdot 4-3=9.
Agora a fórmula de Newton:
x_{1}=2-\frac{3}{9}=2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}=1{,}666666666\ldots
Truncando para 6 casas decimais (cortar após a 6ª casa):
\boxed{x_{1}=1{,}666666.}

Passo 5

Agora usamos o valor truncado \,x_{1}=1{,}666666\, como entrada.
  1. Calcular \,x_{1}^{2} e \,x_{1}^{3}. Para manter precisão, podemos trabalhar em inteiros: x_{1}=1666666/10^{6}.
x_{1}^{2}=\frac{1666666^{2}}{10^{12}}=\frac{2\,777\,775\,555\,556}{10^{12}}=2{,}777775555556.
x_{1}^{3}=\frac{1666666^{3}}{10^{18}}=\frac{4\,627\,775\,925\,555\,616\,296}{10^{18}}=4{,}627775925555616296.
  1. Calcular f(x_{1}) e f'(x_{1}):
f(x_{1})=x_{1}^{3}+1-3x_{1}=4{,}627775925555616296+1-3\cdot 1{,}666666.
3\cdot 1{,}666666=4{,}999998.
\Rightarrow f(x_{1})=5{,}627775925555616296-4{,}999998=0{,}627777925555616296.
f'(x_{1})=3x_{1}^{2}-3=3\cdot 2{,}777775555556-3=8{,}333326666668-3=5{,}333326666668.
  1. Aplicar Newton:
x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}=1{,}666666-\frac{0{,}627777925555616296}{5{,}333326666668}.
Fazendo a divisão com precisão suficiente (mostro o raciocínio: escrevemos o quociente como número decimal; realizando a divisão inteira via escala leva a)
\frac{0{,}627777925555616296}{5{,}333326666668}\approx 0{,}117708578929\ldots
Então
x_{2}\approx 1{,}666666-0{,}117708578929\ldots=1{,}548957421071\ldots
Truncando para 6 casas decimais:
\boxed{x_{2}=1{,}548957.}

Passo 6

Usamos \,x_{2}=1{,}548957\, (truncado).
  1. Trabalhando em inteiros: x_{2}=1548957/10^{6}.
x_{2}^{2}=\frac{1548957^{2}}{10^{12}}=\frac{2\,399\,267\,787\,849}{10^{12}}=2{,}399267787849.
x_{2}^{3}=\frac{1548957^{3}}{10^{18}}=\frac{3\,716\,362\,634\,863\,223\,493}{10^{18}}=3{,}716362634863223493.
  1. Calcular f(x_{2}) e f'(x_{2}):
f(x_{2})=x_{2}^{3}+1-3x_{2}=3{,}716362634863223493+1-3\cdot 1{,}548957.
3\cdot 1{,}548957=4{,}646871.
\Rightarrow f(x_{2})=4{,}716362634863223493-4{,}646871=0{,}069491634863223493.
f'(x_{2})=3x_{2}^{2}-3=3\cdot 2{,}399267787849-3=7{,}197803363547-3=4{,}197803363547.
  1. Aplicar Newton:
x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}=1{,}548957-\frac{0{,}069491634863223493}{4{,}197803363547}.
Fazendo a divisão com precisão necessária obtemos
\frac{0{,}069491634863223493}{4{,}197803363547}\approx 0{,}016554285367\ldots
Logo
x_{3}\approx 1{,}548957-0{,}016554285367\ldots=1{,}532402714632\ldots
Truncando para 6 casas decimais:
\boxed{x_{3}=1{,}532402.}

Passo 7

Agora usamos \,x_{3}=1{,}532402\,.
  1. Em inteiros: x_{3}=1532402/10^{6}.
x_{3}^{2}=\frac{1532402^{2}}{10^{12}}=\frac{2\,348\,255\,889\,604}{10^{12}}=2{,}348255889604.
x_{3}^{3}=\frac{1532402^{3}}{10^{18}}=\frac{3\,598\,472\,021\,740\,948\,808}{10^{18}}=3{,}598472021740948808.
  1. Calcular f(x_{3}) e f'(x_{3}):
f(x_{3})=x_{3}^{3}+1-3x_{3}=3{,}598472021740948808+1-3\cdot 1{,}532402.
3\cdot 1{,}532402=4{,}597206.
\Rightarrow f(x_{3})=4{,}598472021740948808-4{,}597206=0{,}001266021740948808.
f'(x_{3})=3x_{3}^{2}-3=3\cdot 2{,}348255889604-3=7{,}044767668812-3=4{,}044767668812.
  1. Aplicar Newton:
x_{4}=x_{3}-\frac{f(x_{3})}{f'(x_{3})}=1{,}532402-\frac{0{,}001266021740948808}{4{,}044767668812}.
Calculando a divisão com precisão:
\frac{0{,}001266021740948808}{4{,}044767668812}\approx 0{,}000313002339\ldots
Então
x_{4}\approx 1{,}532402-0{,}000313002339\ldots=1{,}532088997660\ldots
Truncando para 6 casas decimais:
\boxed{x_{4}=1{,}532088.}

Resposta

x_{1}=1{,}666666
x_{2}=1{,}548957
x_{3}=1{,}532402
x_{4}=1{,}532088

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