Questão 2 ( 3,0 pontos) Use o método de Newton para aproximar a raíz da equação
no intervalo
. Usando
encontre as aproximações
e
(usando 6 casas decimais com trucamento).
Passo 1
O enunciado pede: usar o método de Newton para aproximar a raiz da equação
no intervalo
, começando em
, e calcular as aproximações
apresentando cada uma com 6 casas decimais usando trucamento.
Informações dadas e o que precisamos obter:
Informações dadas e o que precisamos obter:
- Equação:
. - Ponto inicial:
. - Método: Newton (iterar e a cada iteração truncar o resultado para 6 casas decimais e usar esse truncamento como ponto para a próxima iteração).
- Resultado pedido:
com 6 casas decimais por truncamento.
Passo 2
Breve aula sobre o método de Newton (do jeito que a gente entende na prova): seja
uma função com derivada
e suponha que queremos uma raiz de
. A iteração de Newton é dada por
Aqui a ideia é aproximar
por sua reta tangente em
e achar onde essa reta corta o eixo
; esse corte vira
. Na prova: escreva a fórmula, calcule
e
em
, subtraia o quociente e depois, conforme o enunciado, trucar para 6 casas decimais antes de usar na próxima iteração.
Passo 3
Identificar
e
para o nosso problema:
Vamos aplicar a fórmula
Em todas as contas eu vou mostrar como computar potências e produtos de modo que você consiga reproduzir na prova sem calculadora (usando decomposição em inteiros e truncamento final). Lembre que “trucamento para 6 casas decimais” significa: cortar os dígitos após a 6ª casa decimal (não arredondar).
Passo 4
Começamos com
.
Calcule e
:
Calcule
Agora a fórmula de Newton:
Truncando para 6 casas decimais (cortar após a 6ª casa):
Passo 5
Agora usamos o valor truncado
como entrada.
- Calcular
e . Para manter precisão, podemos trabalhar em inteiros: .
- Calcular
e :
- Aplicar Newton:
Fazendo a divisão com precisão suficiente (mostro o raciocínio: escrevemos o quociente como número decimal; realizando a divisão inteira via escala leva a)
Então
Truncando para 6 casas decimais:
Passo 6
Usamos
(truncado).
- Trabalhando em inteiros:
.
- Calcular
e :
- Aplicar Newton:
Fazendo a divisão com precisão necessária obtemos
Logo
Truncando para 6 casas decimais:
Passo 7
Agora usamos
.
- Em inteiros:
.
- Calcular
e :
- Aplicar Newton:
Calculando a divisão com precisão:
Então
Truncando para 6 casas decimais: