Seja a função de produção de um determinado bem Q que utiliza o fator de produção N dada por:
. Pede-se:
a) Determinar as expressões algébricas das funções de produto médio e do produto marginal do fator N .
b) Calcular os valores de N que representam os limites do estágio de produção racional.
c) Se o preço do insumo ou fator de produção for
300,00
\mathrm{R} $5,00$, qual a quantidade de produto maximizaria o lucro da empresa?
a) Determinar as expressões algébricas das funções de produto médio e do produto marginal do fator N .
b) Calcular os valores de N que representam os limites do estágio de produção racional.
c) Se o preço do insumo ou fator de produção for
Passo 1
O enunciado dá a função de produção e pede três coisas. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede:
Dado:
onde
é a quantidade do fator de produção.
Perguntas:
a) Determinar as expressões algébricas do produto médio e do produto marginal do fator .
b) Calcular os valores de que representam os limites do estágio de produção racional.
c) Se o preço do insumo (fator ) é
e o preço do produto é
, qual a quantidade de produto que maximiza o lucro da empresa?
a) Determinar as expressões algébricas do produto médio e do produto marginal do fator
b) Calcular os valores de
c) Se o preço do insumo (fator
Passo 2
Conceitos fundamentais (rapidamente e de forma prática, para usar na prova):
- Produto médio (AP, average product) é a produção por unidade do fator; matematicamente:
Aqui
indica quanto, em média, cada unidade de
está produzindo.
- Produto marginal (MP, marginal product) é o acréscimo de produção quando aumentamos
em uma unidade infinitesimal; matematicamente é a derivada de em relação a :
Isso indica quanto a produção total aumenta quando eu adiciono mais um pouquinho do fator
.
Vou aplicar essas definições à função dada.
Passo 3
Calcular o produto médio
:
Partimos de
. Então
Dividindo termo a termo por
:
Explicando passo a passo:
e
.
Passo 4
Calcular o produto marginal
:
Usamos derivação termo a termo. Derivada de
em relação a
é
(regra:
, então
). Derivada de
é
(regra:
). Portanto,
É útil às vezes fatorar:
Passo 5
Agora, para achar os limites do estágio racional, precisamos entender como os estágios são definidos (forma prática para a prova):
- O ponto onde
corta (isto é, ) marca o fim do Estágio I e o início do Estágio II. - O ponto onde
marca o fim do Estágio II (após isso é Estágio III).
Logo, o estágio racional (Estágio II) é o intervalo entre a solução positiva dee a solução positiva de .
Vou resolver essas duas equações.
Passo 6
Resolver
.
Temos
Passo a passo: mover todos termos para um lado:
Isso simplifica:
Fatorando
:
Portanto as soluções são
e
. O ponto relevante positivo (que marca a fronteira entre Estágio I e II) é
.
Passo 7
Resolver
:
Partindo de
. Então
As soluções são
e
. O ponto relevante positivo que marca o fim do Estágio II é
.
Passo 8
Conclusão sobre os limites do estágio racional:
O estágio racional (Estágio II) ocorre para
Explicando: começa em
(MP = AP) e termina em
(MP = 0). Dentro desse intervalo a firma está usando o fator de forma “racional” — é aí que a produção média ainda faz sentido e a margem é positiva, etc.
Passo 9
Parte c) — montar a função lucro e a condição de maximização:
Preço do produto
. Preço do fator (custo por unidade de
)
.
Lucro
como função de
:
Substituindo:
Condição de primeira ordem para máximo interior (em concorrência perfeita): igualar o valor do produto marginal (VMP) ao custo do fator:
Aqui
é o produto marginal expresso em reais (quanto a mais de receita se obtém por aumentar um pouco
).
Passo 10
Aplicar a condição
.
Temos
. Então
Simplificando:
Dividindo tudo por
(para facilitar):
Colocando em forma padrão:
Passo 11
Resolver a equação quadrática
.
Calcule o discriminante:
Raiz quadrada de
é
. Assim as soluções:
Logo
Passo 12
Escolher a solução que maximiza o lucro (explicando o porquê, passo a passo):
- Temos duas pontos estacionários
e . Para saber qual é máximo, verificamos a segunda derivada do lucro ou usamos a intuição do estágio racional.
Segundo derivada da função lucro:
Calculando
: derivada de
é
. Então
Avaliação:
- Em
: ⇒ ponto de mínimo local. - Em
: ⇒ ponto de máximo local.
Além disso, o valor
está dentro do estágio racional
, enquanto
está fora (estágio I), então economicamente a escolha racional é
.
Passo 13
Calcular a quantidade de produto correspondente a
:
Usamos
. Substituindo
:
Portanto a quantidade de produto que maximiza o lucro é
unidades (e o fator usado é
).
Resposta
a)
e
b) Os limites do estágio racional são e
.
c) A quantidade de produto que maximiza o lucro é (ocorre com
).
b) Os limites do estágio racional são
c) A quantidade de produto que maximiza o lucro é