Seja a função de produção de um determinado bem Q que utiliza o fator de produção N dada por: Q= 18 N^{2}-N^{3}. Pede-se:
a) Determinar as expressões algébricas das funções de produto médio e do produto marginal do fator N .
b) Calcular os valores de N que representam os limites do estágio de produção racional.
c) Se o preço do insumo ou fator de produção for \mathrm{R} \ 300,00 e o preço do produto forç\mathrm{R} $5,00$, qual a quantidade de produto maximizaria o lucro da empresa?

Passo 1

O enunciado dá a função de produção e pede três coisas. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede:
Dado:
Q = 18N^{2} - N^{3}
onde \,N é a quantidade do fator de produção.
Perguntas:
a) Determinar as expressões algébricas do produto médio e do produto marginal do fator \,N.
b) Calcular os valores de \,N que representam os limites do estágio de produção racional.
c) Se o preço do insumo (fator \,N) é \mathrm{R}\$\,300{,}00 e o preço do produto é \mathrm{R}\$\,5{,}00, qual a quantidade de produto que maximiza o lucro da empresa?

Passo 2

Conceitos fundamentais (rapidamente e de forma prática, para usar na prova):
  • Produto médio (AP, average product) é a produção por unidade do fator; matematicamente:
\text{AP}(N)=\frac{Q(N)}{N}.
Aqui \text{AP}(N) indica quanto, em média, cada unidade de \,N está produzindo.
  • Produto marginal (MP, marginal product) é o acréscimo de produção quando aumentamos N em uma unidade infinitesimal; matematicamente é a derivada de Q em relação a N:
\text{MP}(N)=\frac{dQ}{dN}.
Isso indica quanto a produção total aumenta quando eu adiciono mais um pouquinho do fator N.
Vou aplicar essas definições à função dada.

Passo 3

Calcular o produto médio \text{AP}(N):
Partimos de \;Q=18N^{2}-N^{3}. Então
\text{AP}(N)=\frac{Q}{N}=\frac{18N^{2}-N^{3}}{N}.
Dividindo termo a termo por N:
\text{AP}(N)=18N - N^{2}.
Explicando passo a passo: 18N^{2}/N = 18N e N^{3}/N = N^{2}.

Passo 4

Calcular o produto marginal \text{MP}(N):
Usamos derivação termo a termo. Derivada de 18N^{2} em relação a N é 36N (regra: \frac{d}{dN}N^{2}=2N, então 18\cdot 2N=36N). Derivada de -N^{3} é -3N^{2} (regra: \frac{d}{dN}N^{3}=3N^{2}). Portanto,
\text{MP}(N)=36N - 3N^{2}.
É útil às vezes fatorar:
\text{MP}(N)=3N(12 - N).

Passo 5

Agora, para achar os limites do estágio racional, precisamos entender como os estágios são definidos (forma prática para a prova):
  • O ponto onde \text{MP} corta \text{AP} (isto é, \text{MP}=\text{AP}) marca o fim do Estágio I e o início do Estágio II.
  • O ponto onde \text{MP}=0 marca o fim do Estágio II (após isso \text{MP}<0 é Estágio III).
    Logo, o estágio racional (Estágio II) é o intervalo entre a solução positiva de \text{MP}=\text{AP} e a solução positiva de \text{MP}=0.
Vou resolver essas duas equações.

Passo 6

Resolver \text{MP}=\text{AP}.
Temos
36N - 3N^{2} = 18N - N^{2}.
Passo a passo: mover todos termos para um lado:
36N - 3N^{2} - 18N + N^{2} = 0.
Isso simplifica:
18N - 2N^{2} = 0.
Fatorando 2N:
2N(9 - N)=0.
Portanto as soluções são \,N=0 e \,N=9. O ponto relevante positivo (que marca a fronteira entre Estágio I e II) é \,N=9.

Passo 7

Resolver \text{MP}=0:
Partindo de \text{MP}(N)=36N - 3N^{2} = 3N(12 - N). Então
3N(12 - N)=0.
As soluções são \,N=0 e \,N=12. O ponto relevante positivo que marca o fim do Estágio II é \,N=12.

Passo 8

Conclusão sobre os limites do estágio racional:
O estágio racional (Estágio II) ocorre para
9 \le N \le 12.
Explicando: começa em \,N=9 (MP = AP) e termina em \,N=12 (MP = 0). Dentro desse intervalo a firma está usando o fator de forma “racional” — é aí que a produção média ainda faz sentido e a margem é positiva, etc.

Passo 9

Parte c) — montar a função lucro e a condição de maximização:
Preço do produto p=\mathrm{R}\$\,5{,}00. Preço do fator (custo por unidade de N) w=\mathrm{R}\$\,300{,}00.
Lucro \pi(N) como função de N:
\pi(N) = p\cdot Q(N) - w\cdot N.
Substituindo:
\pi(N) = 5\bigl(18N^{2}-N^{3}\bigr) - 300N = 90N^{2} - 5N^{3} - 300N.
Condição de primeira ordem para máximo interior (em concorrência perfeita): igualar o valor do produto marginal (VMP) ao custo do fator:
p\cdot \text{MP}(N) = w.
Aqui \;p\cdot \text{MP}(N) é o produto marginal expresso em reais (quanto a mais de receita se obtém por aumentar um pouco N).

Passo 10

Aplicar a condição p\cdot \text{MP}(N)=w.
Temos \text{MP}(N)=36N - 3N^{2}. Então
5(36N - 3N^{2}) = 300.
Simplificando:
180N - 15N^{2} = 300.
Dividindo tudo por 15 (para facilitar):
12N - N^{2} = 20.
Colocando em forma padrão:
-N^{2} + 12N - 20 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad N^{2} - 12N + 20 = 0.

Passo 11

Resolver a equação quadrática N^{2} - 12N + 20 = 0.
Calcule o discriminante:
\Delta = (-12)^{2} - 4\cdot 1 \cdot 20 = 144 - 80 = 64.
Raiz quadrada de \Delta é 8. Assim as soluções:
N = \frac{12 \pm 8}{2}.
Logo
N = \frac{20}{2}=10 \quad\text{ou}\quad N = \frac{4}{2}=2.

Passo 12

Escolher a solução que maximiza o lucro (explicando o porquê, passo a passo):
  • Temos duas pontos estacionários N=2 e N=10. Para saber qual é máximo, verificamos a segunda derivada do lucro ou usamos a intuição do estágio racional.
Segundo derivada da função lucro:
\pi''(N) = p\cdot \frac{d}{dN}\bigl(\text{MP}(N)\bigr) = p\cdot \text{MP}'(N).
Calculando \text{MP}'(N): derivada de 36N - 3N^{2} é 36 - 6N. Então
\pi''(N) = 5(36 - 6N) = 180 - 30N.
Avaliação:
  • Em N=2: \pi''(2)=180 - 60 = 120 > 0 ⇒ ponto de mínimo local.
  • Em N=10: \pi''(10)=180 - 300 = -120 < 0 ⇒ ponto de máximo local.
Além disso, o valor N=10 está dentro do estágio racional [9,12], enquanto N=2 está fora (estágio I), então economicamente a escolha racional é N=10.

Passo 13

Calcular a quantidade de produto correspondente a N=10:
Usamos Q=18N^{2} - N^{3}. Substituindo N=10:
Q(10)=18\cdot 10^{2} - 10^{3} = 18\cdot 100 - 1000 = 1800 - 1000 = 800.
Portanto a quantidade de produto que maximiza o lucro é \,800 unidades (e o fator usado é N=10).

Resposta

a) \text{AP}(N)=18N - N^{2} \quad e \quad \text{MP}(N)=36N - 3N^{2}.
b) Os limites do estágio racional são \,N=9 e \,N=12.
c) A quantidade de produto que maximiza o lucro é \,Q=800 (ocorre com \,N=10).

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