[Valor 0,625] Considere o sistema não linear \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y-4=0 \\\ e^{x}-y-2=0\end{array}\right.
a) Calcule a matriz Jacobiana.
b) Calcule X^{(1)} utilizando o método de Newton e X^{(0)}=\left(\begin{array}{ll}2 & 2\end{array}\right)^{\top}

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x^{2}+y-4=0,\\[4pt] e^{x}-y-2=0, \end{cases}
e pede duas coisas:
  1. Calcular a matriz Jacobiana do sistema (forma geral em x e y).
  2. Aplicar o método de Newton para sistemas a partir de X^{(0)}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]2\end{pmatrix} e obter X^{(1)}.
Informações relevantes fornecidas: as duas equações do sistema e o ponto inicial X^{(0)}. Não há outras informações escondidas.]

Passo 2

Breve (mas direta) explicação do método de Newton para sistemas — o que vamos usar na prova.
  • Se definirmos o vetor das funções
F(x,y)=\begin{pmatrix}f_{1}(x,y)\\[4pt]f_{2}(x,y)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x^{2}+y-4\\[4pt]e^{x}-y-2\end{pmatrix},
o passo de Newton para sistemas usa a fórmula
X^{(k+1)}=X^{(k)}+\Delta X^{(k)},
onde \Delta X^{(k)} é solução do sistema linear
J\bigl(X^{(k)}\bigr)\,\Delta X^{(k)} = -\,F\bigl(X^{(k)}\bigr).
Aqui J(x,y) é a matriz Jacobiana, que contém as derivadas parciais das funções em relação às incógnitas. Na prática: calcular J, avaliar em X^{(0)}, calcular F(X^{(0)}), resolver o sistema linear para \Delta X^{(0)} e somar a X^{(0)}.]

Passo 3

Como se calcula a Jacobiana: para duas funções f_{1}(x,y) e f_{2}(x,y) a Jacobiana é
J(x,y)=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial f_{1}}{\partial x} & \dfrac{\partial f_{1}}{\partial y}\\[8pt] \dfrac{\partial f_{2}}{\partial x} & \dfrac{\partial f_{2}}{\partial y} \end{pmatrix}.
Aplicando às nossas funções:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y-4)=2x porque a derivada de x^{2} em relação a x é 2x e y-4 são constantes em x.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y-4)=1 porque a derivada de y em relação a y é 1.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(e^{x}-y-2)=e^{x} porque derivada de e^{x} é e^{x}.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(e^{x}-y-2)=-1 porque derivada de -y em relação a y é -1.
Portanto a Jacobiana geral é
J(x,y)=\begin{pmatrix}2x & 1\\[4pt] e^{x} & -1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Avaliar a Jacobiana em X^{(0)}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]2\end{pmatrix}, ou seja em (x,y)=(2,2).
Substituindo x=2:
J(2,2)=\begin{pmatrix}2\cdot 2 & 1\\[4pt] e^{2} & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 1\\[4pt] e^{2} & -1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular o vetor F em X^{(0)}: F(2,2)=\begin{pmatrix}f_{1}(2,2)\\[4pt]f_{2}(2,2)\end{pmatrix}.
  • f_{1}(2,2)=2^{2}+2-4=4+2-4=2.
  • f_{2}(2,2)=e^{2}-2-2=e^{2}-4.
Logo
F(2,2)=\begin{pmatrix}2\\[4pt] e^{2}-4\end{pmatrix}.]

Passo 6

Montar o sistema linear para \Delta X^{(0)}=\begin{pmatrix}\Delta x\\[2pt]\Delta y\end{pmatrix}:
J(2,2)\,\Delta X^{(0)} = -\,F(2,2),
ou explicitamente
\begin{pmatrix}4 & 1\\[4pt] e^{2} & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\Delta x\\[2pt]\Delta y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\[4pt]4-e^{2}\end{pmatrix}.
Isto corresponde ao sistema de duas equações:
\begin{cases} 4\Delta x + \Delta y = -2,\\[6pt] e^{2}\Delta x - \Delta y = 4-e^{2}. \end{cases}]

Passo 7

Resolver o sistema por substituição (passo a passo, como na prova):
Da primeira equação isolamos \Delta y:
\Delta y = -2 - 4\Delta x.
Substituímos na segunda equação:
e^{2}\Delta x - (-2 - 4\Delta x) = 4-e^{2}.
Simplificando:
e^{2}\Delta x + 2 + 4\Delta x = 4-e^{2}.
Agrupando os termos em \Delta x:
(e^{2}+4)\Delta x + 2 = 4-e^{2}.
Isolando \Delta x:
(e^{2}+4)\Delta x = 2 - e^{2},
logo
\Delta x = \dfrac{2-e^{2}}{e^{2}+4}.
Agora calculamos \Delta y usando \Delta y = -2 - 4\Delta x:
\Delta y = -2 - 4\cdot\dfrac{2-e^{2}}{e^{2}+4}.
Colocando em denominador comum e simplificando (mostrar a álgebra é importante na prova):
\Delta y = \dfrac{-2(e^{2}+4) - 4(2-e^{2})}{e^{2}+4} = \dfrac{-2e^{2}-8 -8 +4e^{2}}{e^{2}+4} = \dfrac{2e^{2}-16}{e^{2}+4} = \dfrac{2\,(e^{2}-8)}{e^{2}+4}.
Assim
\Delta X^{(0)} = \begin{pmatrix}\dfrac{2-e^{2}}{e^{2}+4}\\[8pt]\dfrac{2\,(e^{2}-8)}{e^{2}+4}\end{pmatrix}.]

Passo 8

Atualizar X^{(1)}=X^{(0)}+\Delta X^{(0)}. Somando componente a componente:
Para a primeira componente:
2 + \dfrac{2-e^{2}}{e^{2}+4} = \dfrac{2(e^{2}+4) + (2-e^{2})}{e^{2}+4} = \dfrac{2e^{2}+8 +2 - e^{2}}{e^{2}+4} = \dfrac{e^{2}+10}{e^{2}+4}.
Para a segunda componente:
2 + \dfrac{2\,(e^{2}-8)}{e^{2}+4} = \dfrac{2(e^{2}+4) + 2(e^{2}-8)}{e^{2}+4} = \dfrac{2e^{2}+8 +2e^{2}-16}{e^{2}+4} = \dfrac{4e^{2}-8}{e^{2}+4} = \dfrac{4\,(e^{2}-2)}{e^{2}+4}.
Portanto
X^{(1)}=\begin{pmatrix}\dfrac{e^{2}+10}{e^{2}+4}\\[8pt]\dfrac{4\,(e^{2}-2)}{e^{2}+4}\end{pmatrix}.]

Resposta

J(x,y)=\begin{pmatrix}2x & 1\\[4pt] e^{x} & -1\end{pmatrix}
X^{(1)}=\begin{pmatrix}\dfrac{e^{2}+10}{e^{2}+4}\\[8pt]\dfrac{4\,(e^{2}-2)}{e^{2}+4}\end{pmatrix}

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