usando o método de Gauss–Jacobi, com vetor inicial \,x^{(0)}=(1;1;1)\, e critério de parada \epsilon=0,3.
Informações dadas importantes:
Coeficientes das equações (tirados do sistema acima).
Vetor inicial \,x^{(0)}=(1;1;1)\,.
Tolerância \epsilon=0,3.
Método solicitado: Gauss–Jacobi (iterativo).
Passo 2
Breve aula sobre o método de Gauss–Jacobi (passo a passo e fórmulas).
Ideia: isolar cada incógnita na sua própria equação e calcular a próxima iteração de cada componente usando somente os valores da iteração anterior. Assim, para o sistema A x=b escrevemos, para cada i,
Aqui x_i^{(k)} é a componente i no vetor de iteração k, a_{ij} é o elemento da matriz A na linha i, coluna j, e b_i é o i-ésimo termo independente.
Condição de convergência (prática): se a matriz for estritamente diagonalmente dominante por linhas (isto é, |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}| para cada linha), então Gauss–Jacobi converge. Vamos checar isso usando os coeficientes do sistema:
Linha 1: |5| > |1|+|-1| \Rightarrow 5>2 (ok).
Linha 2: |4| > |1|+|1| \Rightarrow 4>2 (ok).
Linha 3: |4| > |2|+|1| \Rightarrow 4>3 (ok).
Portanto o método converge para este sistema.
Passo 3
Isolando cada incógnita das equações e escrevendo as fórmulas de iteração (usando os coeficientes dados):
Explicando cada termo: em x_1^{(k+1)} divide-se pelo coeficiente de x_1 (que é 5) e subtrai-se os outros termos da linha usando os valores da iteração anterior (k). O mesmo raciocínio para x_2^{(k+1)} e x_3^{(k+1)}.
Passo 4
Critério de parada adotado (usado aqui): parar quando a norma infinito da diferença entre iterações sucessivas for menor que \epsilon. Ou seja, parar quando
Explicando: a norma infinito pega a maior diferença absoluta entre componentes; se a maior diferença é menor que a tolerância, todas as componentes mudaram pouco o suficiente.
Passo 5
Iteração 1: partir de x^{(0)}=(1;1;1).
Calcular cada componente usando as fórmulas do passo 3.