Questão 5. Considere o seguinte sistema abaixo. Encontre a solução aproximada pelo método de Gauss-Jacobi.
\left\{\begin{array}{r} 5 x_{1}+x_{2}-x_{3}=8 \\\ x_{1}+4 x_{2}+x_{3}=8 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}+4 x_{3}=0 \end{array}\right.
Considere vetor inicial igual a x^{(0)}=(1 ; 1 ; 1) \mathrm{e} \epsilon=0,3.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma solução aproximada do sistema
\left\{\begin{array}{r} 5 x_{1}+x_{2}-x_{3}=8 \\\ x_{1}+4 x_{2}+x_{3}=8 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}+4 x_{3}=0 \end{array}\right.
usando o método de Gauss–Jacobi, com vetor inicial \,x^{(0)}=(1;1;1)\, e critério de parada \epsilon=0,3.
Informações dadas importantes:
  • Coeficientes das equações (tirados do sistema acima).
  • Vetor inicial \,x^{(0)}=(1;1;1)\,.
  • Tolerância \epsilon=0,3.
  • Método solicitado: Gauss–Jacobi (iterativo).

Passo 2

Breve aula sobre o método de Gauss–Jacobi (passo a passo e fórmulas).
  • Ideia: isolar cada incógnita na sua própria equação e calcular a próxima iteração de cada componente usando somente os valores da iteração anterior. Assim, para o sistema A x=b escrevemos, para cada i,
x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i-\sum_{j\neq i} a_{ij}x_j^{(k)}\Bigr).
  • Aqui x_i^{(k)} é a componente i no vetor de iteração k, a_{ij} é o elemento da matriz A na linha i, coluna j, e b_i é o i-ésimo termo independente.
  • Condição de convergência (prática): se a matriz for estritamente diagonalmente dominante por linhas (isto é, |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}| para cada linha), então Gauss–Jacobi converge. Vamos checar isso usando os coeficientes do sistema:
    • Linha 1: |5| > |1|+|-1| \Rightarrow 5>2 (ok).
    • Linha 2: |4| > |1|+|1| \Rightarrow 4>2 (ok).
    • Linha 3: |4| > |2|+|1| \Rightarrow 4>3 (ok).
      Portanto o método converge para este sistema.

Passo 3

Isolando cada incógnita das equações e escrevendo as fórmulas de iteração (usando os coeficientes dados):
x_1^{(k+1)}=\frac{1}{5}\bigl(8 - x_2^{(k)} + x_3^{(k)}\bigr), \qquad x_2^{(k+1)}=\frac{1}{4}\bigl(8 - x_1^{(k)} - x_3^{(k)}\bigr), \qquad x_3^{(k+1)}=\frac{1}{4}\bigl(-2x_1^{(k)} - x_2^{(k)}\bigr).
Explicando cada termo: em x_1^{(k+1)} divide-se pelo coeficiente de x_1 (que é 5) e subtrai-se os outros termos da linha usando os valores da iteração anterior ( k). O mesmo raciocínio para x_2^{(k+1)} e x_3^{(k+1)}.

Passo 4

Critério de parada adotado (usado aqui): parar quando a norma infinito da diferença entre iterações sucessivas for menor que \epsilon. Ou seja, parar quando
\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty=\max_i\bigl|x_i^{(k+1)}-x_i^{(k)}\bigr|<\epsilon.
Explicando: a norma infinito pega a maior diferença absoluta entre componentes; se a maior diferença é menor que a tolerância, todas as componentes mudaram pouco o suficiente.

Passo 5

Iteração 1: partir de x^{(0)}=(1;1;1).
Calcular cada componente usando as fórmulas do passo 3.
  • x_1^{(1)}=\dfrac{1}{5}\bigl(8 - x_2^{(0)} + x_3^{(0)}\bigr)=\dfrac{1}{5}\bigl(8-1+1\bigr)=\dfrac{8}{5}=1{,}6.
  • x_2^{(1)}=\dfrac{1}{4}\bigl(8 - x_1^{(0)} - x_3^{(0)}\bigr)=\dfrac{1}{4}\bigl(8-1-1\bigr)=\dfrac{6}{4}=1{,}5.
  • x_3^{(1)}=\dfrac{1}{4}\bigl(-2x_1^{(0)} - x_2^{(0)}\bigr)=\dfrac{1}{4}\bigl(-2\cdot1 -1\bigr)=\dfrac{-3}{4}=-0{,}75.
Logo x^{(1)}=(1{,}6;1{,}5;-0{,}75).

Passo 6

Verificar o critério de parada entre x^{(1)} e x^{(0)}.
  • |x_1^{(1)}-x_1^{(0)}|=|1{,}6-1|=0{,}6.
  • |x_2^{(1)}-x_2^{(0)}|=|1{,}5-1|=0{,}5.
  • |x_3^{(1)}-x_3^{(0)}|=|-0{,}75-1|=1{,}75.
\|x^{(1)}-x^{(0)}\|_\infty=\max\{0{,}6,\,0{,}5,\,1{,}75\}=1{,}75.
Como 1{,}75\ge 0{,}3, não satisfaz o critério; prosseguimos para a próxima iteração.

Passo 7

Iteração 2: usar x^{(1)} para obter x^{(2)}.
  • x_1^{(2)}=\dfrac{1}{5}\bigl(8 - x_2^{(1)} + x_3^{(1)}\bigr)=\dfrac{1}{5}\bigl(8-1{,}5+(-0{,}75)\bigr)=\dfrac{5{,}75}{5}=1{,}15.
  • x_2^{(2)}=\dfrac{1}{4}\bigl(8 - x_1^{(1)} - x_3^{(1)}\bigr)=\dfrac{1}{4}\bigl(8-1{,}6-(-0{,}75)\bigr)=\dfrac{7{,}15}{4}=1{,}7875.
  • x_3^{(2)}=\dfrac{1}{4}\bigl(-2x_1^{(1)} - x_2^{(1)}\bigr)=\dfrac{1}{4}\bigl(-2\cdot1{,}6 -1{,}5\bigr)=\dfrac{-4{,}7}{4}=-1{,}175.
Logo x^{(2)}=(1{,}15;1{,}7875;-1{,}175).

Passo 8

Verificar o critério entre x^{(2)} e x^{(1)}.
  • |x_1^{(2)}-x_1^{(1)}|=|1{,}15-1{,}6|=0{,}45.
  • |x_2^{(2)}-x_2^{(1)}|=|1{,}7875-1{,}5|=0{,}2875.
  • |x_3^{(2)}-x_3^{(1)}|=|-1{,}175-(-0{,}75)|=0{,}425.
\|x^{(2)}-x^{(1)}\|_\infty=\max\{0{,}45,\,0{,}2875,\,0{,}425\}=0{,}45.
Como 0{,}45\ge 0{,}3, ainda não satisfaz o critério; fazemos mais uma iteração.

Passo 9

Iteração 3: usar x^{(2)} para obter x^{(3)}.
  • x_1^{(3)}=\dfrac{1}{5}\bigl(8 - x_2^{(2)} + x_3^{(2)}\bigr)=\dfrac{1}{5}\bigl(8-1{,}7875+(-1{,}175)\bigr)=\dfrac{5{,}0375}{5}=1{,}0075.
  • x_2^{(3)}=\dfrac{1}{4}\bigl(8 - x_1^{(2)} - x_3^{(2)}\bigr)=\dfrac{1}{4}\bigl(8-1{,}15-(-1{,}175)\bigr)=\dfrac{8{,}025}{4}=2{,}00625.
  • x_3^{(3)}=\dfrac{1}{4}\bigl(-2x_1^{(2)} - x_2^{(2)}\bigr)=\dfrac{1}{4}\bigl(-2\cdot1{,}15 -1{,}7875\bigr)=\dfrac{-4{,}0875}{4}=-1{,}021875.
Logo x^{(3)}=(1{,}0075;2{,}00625;-1{,}021875).

Passo 10

Verificar o critério entre x^{(3)} e x^{(2)}.
  • |x_1^{(3)}-x_1^{(2)}|=|1{,}0075-1{,}15|=0{,}1425.
  • |x_2^{(3)}-x_2^{(2)}|=|2{,}00625-1{,}7875|=0{,}21875.
  • |x_3^{(3)}-x_3^{(2)}|=|-1{,}021875-(-1{,}175)|=0{,}153125.
\|x^{(3)}-x^{(2)}\|_\infty=\max\{0{,}1425,\,0{,}21875,\,0{,}153125\}=0{,}21875.
Como 0{,}21875<0{,}3, o critério de parada é satisfeito. Portanto podemos aceitar x^{(3)} como a solução aproximada exigida com a tolerância dada.

Resposta

\displaystyle x\approx(1{,}0075;\;2{,}00625;\;-1{,}021875)

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