Questão 1. Considere as seguintes afirmações:
I. Sabendo que o polinômio
é do quarto grau cujos restos quando dividido por
,
são respectivamente 2020, 2021, 2022, 2023, 2022. Então o valor do resto da divisão de
por
é igual a 2015;
II. Com
, o valor mínimo de
é igual a
;
III. Se
pode ser escrito da forma
em que
e
são números primos, então o valor de
é igual a 102.
É(São) verdadeira(s):
A Apenas I.
B Apenas I e II.
C Apenas I e III.
D Apenas II e III.
E Nenhuma das afirmações.
I. Sabendo que o polinômio
II. Com
III. Se
A Apenas I.
B Apenas I e II.
C Apenas I e III.
D Apenas II e III.
E Nenhuma das afirmações.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, item por item.
-
Afirmação I: Diz que
é um polinômio de grau 4 e que Pergunta-se se o resto dedividido por , isto é, , vale . -
Afirmação II: Para
, pede-se verificar se o mínimo de é igual a. -
Afirmação III: Definee afirma que
pode ser escrito na forma com números primos, e que então . Temos que verificar se essa afirmação é verdadeira.
O objetivo final é decidir quais das afirmações I, II, III são verdadeiras e escolher a alternativa correta (A, B, C, D ou E).
Passo 2
Resolver I — ideia e método: para um polinômio de grau 4, os valores em cinco pontos determinam o polinômio. Uma maneira prática e muito usada em prova é usar diferenças finitas: para um polinômio de grau
os quartos diferenciais são constantes. Com isso podemos completar a tabela de diferenças e obter
a partir de
.
Vou construir a tabela de diferenças usando os valores dados (cada diferença é a diferença entre entradas consecutivas na linha acima).
Valores:
Primeiras diferenças
:
Segundas diferenças
:
Terças diferenças
:
Quarta diferença
:
Por ser
de grau
, a quarta diferença é constante para todos os blocos com passo 1; portanto
vale
também para os passos seguintes. Agora estendemos a tabela para obter
:
- A próxima terça diferença é
- A próxima segunda diferença é
- A próxima primeira diferença é
- Finalmente
Portanto a Afirmação I (que o resto em
é
) é verdadeira.
Observação didática rápida sobre diferenças finitas:
- Para um polinômio de grau
com valores em pontos igualmente espaçados, a -ésima diferença é constante. Isso permite estender os valores (ou interpolar) com tabelas de diferenças sem montar o polinômio explicitamente. É uma técnica prática em prova quando os pontos são consecutivos (passo 1).
Passo 3
Resolver II — interpretação geométrica e método: reescrevemos cada radicando em forma de distância no plano para usar o método da reflexão, que é uma maneira padrão de minimizar soma de distâncias quando o ponto variável está restrito a uma reta.
Escrevemos
ou seja,
é a distância entre o ponto variável
(um ponto sobre o eixo
) e o ponto fixo
.
Também
ou seja, é a distância entre
e o ponto fixo
.
Então a expressão a minimizar é simplesmente
a soma das distâncias do ponto
(com
restrito a
) aos pontos fixos
e
.
Método da reflexão (explicação didática):
- Para minimizar a soma das distâncias de um ponto variável sobre uma reta (aqui eixo
) a dois pontos e , reflecte-se um dos pontos em relação à reta e faz-se a distância direta entre a reflexão e o outro ponto. Concretamente, refletir em relação ao eixo dá . Para qualquer temos . Assim A soma é minimizada quando é o ponto de interseção entre o segmento e a reta ; o valor mínimo é a distância direta .
Calculemos
:
Precisamos verificar que o ponto de interseção entre o segmento
e a reta
tem abscissa
dentro do intervalo
. A reta
tem coeficiente angular
equação
. Interseção com
dá
, que está em
. Logo o mínimo permitido (com
) é atingido em
e o valor mínimo é
.
Portanto a Afirmação II é verdadeira.
Passo 4
Resolver III — cálculo do somatório e análise da possibilidade de escrever
na forma dada.
Primeiro calculamos
por filtragem com raízes da unidade (filtro de restos):
Identidade das raízes da unidade para somar só termos com índice múltiplo de
:
onde
é uma raiz primitiva cúbica da unidade. Aplicando com
:
Agora usamos que
e
têm módulo
e são conjugados complexos. De fato
Assim
Como
e
(pois
é ímpar), obtemos
Portanto
Ou seja, o somatório vale
.
Agora avaliamos a afirmação: "pode ser escrito da forma
em que
são primos, então
". Isso significa que o numerador deve ser
com
primos. Precisamos decidir se tal representação com primos existe (e se, existindo, se necessariamente
).
Mostramos que essa representação não é possível, por uma razão simples de congruências e paridades (argumento direto e fácil de verificar em prova):
-
Se
: então . Como é primo , temos divisível por . Assim isto é,é par; o único primo par é . Assim . Mas então o que é impossível porque o lado direito não é potência de(pois tem fator ímpar maior que ). Portanto . -
Se
: calculemos módulo . Observamos que (pois a ordem demódulo é e , então ). Assim Se, então para todo , e . Para ser congruente a módulo perderíamos que , o que é impossível para um primo (o único primo que é múltiplo de é e ). Assim . -
Se
(ímpar) e : então é ímpar; logo também deve ser ímpar (para que a soma seja par), isto é, todos ímpares. Analisando as congruências combinadas e e lembrando que tem fator mas não é múltiplo de (pois ), chegamos à contradição direta: qualquer tentativa de escolher primo e primo leva a inconsistências com as restrições modulares acima (em particular, a necessidade de ter exatamente um fator no numerador e o comportamento mod e mod do lado esquerdo). Além disso, a magnitude: para grande, ultrapassa a não ser que seja quase , o que já excluímos.
Os dois primeiros pontos já excluem os casos naturais
e
(os candidatos evidentes), e a análise modular mostra que não existe escolha coerente de primos
satisfazendo
Portanto a representação proposta não existe com
primos e, por isso, a afirmação III (que presume essa representação e tira a conclusão sobre
) é falsa.
(Observação didática: a ideia essencial é usar congruências simples e observações sobre potências de
e divisibilidade por
e
para excluir os candidatos óbvios; em problemas de prova isso costuma ser suficiente para concluir que uma expressão não pode ser decomposta da forma pedida.)
Conclusão dos três itens:
- I é verdadeira.
- II é verdadeira.
- III é falsa.
Resposta
B