Questão 3. Verifique se o método da bisseção pode ser empregado para calcular o zero da função f(x)=\ln x+x^{2}-3 no intervalo [1,2].

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o método da bisseção pode ser aplicado para encontrar uma raiz da função
f(x)=\ln x + x^{2} - 3
no intervalo [1,2]. O conteúdo é o método da bisseção, que requer duas condições:
  1. f deve ser contínua em [1,2].
  2. f(1) e f(2) devem ter sinais opostos (ou seja, f(1)\,f(2)<0).

Passo 2

Verificamos a continuidade de f. A função \ln x é contínua em (0,\infty) e x^{2}-3 é contínua em todo \mathbb{R}. Logo, f(x)=\ln x + x^{2}-3 é contínua em [1,2], pois esse intervalo está contido em (0,\infty).

Passo 3

Calculamos os valores de f nos extremos do intervalo:
f(1)=\ln(1)+1^{2}-3 = 0 + 1 - 3 = -2,
f(2)=\ln(2)+2^{2}-3 = \ln(2) + 4 - 3 = \ln(2) + 1 \approx 0{,}693 + 1 = 1{,}693.

Passo 4

Observamos que
f(1) = -2 < 0 \quad\text{e}\quad f(2) \approx 1{,}693 > 0,
portanto f(1)\,f(2)<0. Há, assim, mudança de sinal no intervalo [1,2], garantindo a existência de pelo menos uma raiz por Bolzano.

Resposta

Sim. O método da bisseção pode ser empregado porque f é contínua em [1,2] e f(1)\,f(2)<0.

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