Questão 5. O valor de 2026^{\frac{\log (\log 2026)}{\log 2026}} pertence ao intervalo:
\mathbf{A}(~)\left(0, ~ \frac{3}{2}\right]
B ( ) \left(\frac{3}{2}, \frac{7}{2}\right]
C ( ) \left(\frac{7}{2}, 5\right]
D ( ) \left(5, \frac{11}{2}\right]
E ( ) \left(\frac{11}{2},+\infty\right]

Passo 1

O enunciado dá o número \;2026^{\frac{\log(\log 2026)}{\log 2026}}\; e pede em qual dos intervalos listados ele pertence. Informações relevantes fornecidas:
  • O número base é 2026.
  • O expoente é \dfrac{\log(\log 2026)}{\log 2026}.
    A pergunta é: em qual intervalo numerado A–E esse valor se encontra?

Passo 2

Vamos simplificar a expressão usando a fórmula de mudança de base de logaritmos. Lembrete (fórmula): para quaisquer bases válidas e números positivos,
\log_{a} b = \frac{\log b}{\log a},
onde \log é um logaritmo em qualquer base fixa (por exemplo base 10 ou e). Aqui cada símbolo significa:
  • a e b são números positivos com a\neq1;
  • \log_a b é o logaritmo de b na base a;
  • \log b e \log a são logaritmos de b e a na mesma base (qualquer escolha consistente).
Aplicando isso ao expoente, obtemos
\frac{\log(\log 2026)}{\log 2026}=\log_{2026}(\log 2026).

Passo 3

Usando a identidade básica de potências e logaritmos: se x>0 e x\neq1, então
x^{\log_x y}=y,
porque \log_x y é exatamente o expoente que faz x^{(\cdot)}=y. Aqui x=2026 e y=\log 2026. Portanto
2026^{\frac{\log(\log 2026)}{\log 2026}}=2026^{\log_{2026}(\log 2026)}=\log 2026.
Ou seja, a expressão original é simplesmente \log 2026.

Passo 4

Agora devemos decidir em qual intervalo está \log 2026. Usamos propriedades elementares dos logaritmos e potências (função logarítmica é crescente quando a base >1). Tomando base 10 para facilitar a comparação (qualquer base fixa daria a mesma classificação por ordem):
  • Sabemos que 10^3=1000 e 10^4=10000. Como 1000<2026<10000, aplica-se monotonicidade do \log para obter
3<\log 2026<4.
  • Para comparar com o limite superior dos intervalos, observe que 10^{3{,}5}=10^{7/2}\approx3162{,}277. E 2026<3162{,}277, logo
\log 2026<3{,}5=\frac{7}{2}.
Assim reunindo,
3<\log 2026<\frac{7}{2}.

Passo 5

Comparando com os intervalos dados:
  • Intervalo A é \left(0,\frac{3}{2}\right] — não cabe, pois \log 2026>3.
  • Intervalo B é \left(\frac{3}{2},\frac{7}{2}\right]. Como \log 2026 está estritamente entre 3 e \tfrac{7}{2}, tem \log 2026\in\left(\tfrac{3}{2},\tfrac{7}{2}\right].
  • Os demais intervalos começam acima de \tfrac{7}{2} ou não contêm o valor encontrado.
Portanto a opção correta é a opção B.

Resposta

B

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