Questão 5. O valor de
pertence ao intervalo:
B ( )
C ( )
D ( )
E ( )
B ( )
C ( )
D ( )
E ( )
Passo 1
O enunciado dá o número
e pede em qual dos intervalos listados ele pertence. Informações relevantes fornecidas:
- O número base é
. - O expoente é
.
A pergunta é: em qual intervalo numerado A–E esse valor se encontra?
Passo 2
Vamos simplificar a expressão usando a fórmula de mudança de base de logaritmos. Lembrete (fórmula): para quaisquer bases válidas e números positivos,
onde
é um logaritmo em qualquer base fixa (por exemplo base
ou
). Aqui cada símbolo significa:
-
e são números positivos com ; -
é o logaritmo de na base ; -
e são logaritmos de e na mesma base (qualquer escolha consistente).
Aplicando isso ao expoente, obtemos
Passo 3
Usando a identidade básica de potências e logaritmos: se
e
, então
porque
é exatamente o expoente que faz
. Aqui
e
. Portanto
Ou seja, a expressão original é simplesmente
.
Passo 4
Agora devemos decidir em qual intervalo está
. Usamos propriedades elementares dos logaritmos e potências (função logarítmica é crescente quando a base
). Tomando base
para facilitar a comparação (qualquer base fixa daria a mesma classificação por ordem):
- Sabemos que
e . Como , aplica-se monotonicidade do para obter
- Para comparar com o limite superior dos intervalos, observe que
. E , logo
Assim reunindo,
Passo 5
Comparando com os intervalos dados:
- Intervalo A é
— não cabe, pois . - Intervalo B é
. Como está estritamente entre e , tem . - Os demais intervalos começam acima de
ou não contêm o valor encontrado.
Portanto a opção correta é a opção B.
Resposta
B