Questão 4) Seja A=(ai, j) uma matriz de ordem 3 em que ai j=1i+j-1, forall i, j=1, ldots, 3. Pede-se:
a) ( 1,0 pontos) Determine a primeira coluna de A^-1 pelo método de eliminação de Gauss com pivotamento parcial;
b) ( 1,0 pontos) Verifique que não é possível determinar a segunda coluna de A^-1 pelo método iterativo de JacobiRichardson, mas que é possível determiná-la pelo método de Gauss-Seidel (GS). Faça 2 iterações do método GS com x^0=0 in R^3. Avalie o erro relativo nas duas iterações feitas usando a norma ell1.

Passo 1

O enunciado trata da matriz de Hilbert de ordem 3
A = l(aijr)i,j=1^3, aij = 1i+j-1,
e pede:
– (a) a primeira coluna de A^-1 usando eliminação de Gauss com pivoteamento parcial;
– (b) mostrar que o método de Jacobi não converge para a segunda coluna de A^-1, mas que o Gauss–Seidel (GS) converge, executando duas iterações de GS com x^(0)=0 e avaliando o erro relativo nas normas ell1.

Passo 2

Formamos o sistema aumentado e aplicamos eliminação de Gauss com pivoteamento parcial.
. Sistema inicial:
. Primeiro pivô é , não há troca. Eliminamos abaixo:
– Linha \leftarrow Linha - ,Linha
– Linha \leftarrow Linha - ,Linha
obtendo
. Para o segundo pivô comparamos os elementos (linhas e ); não há troca. Eliminamos o elemento da linha :
– Linha \leftarrow Linha - Linha

Passo 3

Fazemos a substituição regressiva no sistema triangular superior:
1. Da terceira equação:
tfrac1180,x3 = tfrac16 Longrightarrow x3 = 30
2. Da segunda equação:
tfrac112,x2 + tfrac112,x3 = -tfrac12 Longrightarrow x2 + x3 = -6 Longrightarrow x2 = -6 - 30 = -36
3. Da primeira equação:
x1 + tfrac12,x2 + tfrac13,x3 = 1 Longrightarrow x1 - 18 + 10 = 1 Longrightarrow x1 = 9

Passo 4

Concluímos que a primeira coluna de A^-1 é
9 -36 30

Passo 5

Para a segunda coluna de A^-1 resolvemos A x= e2. Observa-se que A não é estritamente diagonalmente dominante, logo o método de Jacobi não converge. Como A é simétrica definida-positiva, o método de Gauss–Seidel converge.

Passo 6

Iteração 1 de GS com x^(0)=(0,0,0):
x^(1)1 &= 11l(0 - tfrac12cdot0 - tfrac13cdot0r)=0, x^(1)2 &= 1tfrac13l(1 - tfrac12cdot x^(1)1 - tfrac14cdot0r) =3cdot1=3, x^(1)3 &= 1tfrac15l(0 - tfrac13cdot x^(1)1 - tfrac14cdot x^(1)2r) =5l(0 - 0 - tfrac14cdot3r)=-tfrac154=-3,75
Portanto
x^(1) = l(0,;3,;-3,75r)^top

Passo 7

Iteração 2 de GS:
x^(2)1 &= 1l(0 - tfrac12cdot3 - tfrac13cdot(-3,75)r) = -0,25, x^(2)2 &= 3l(1 - tfrac12cdot(-0,25) - tfrac14cdot(-3,75)r) =6,1875, x^(2)3 &= 5l(0 - tfrac13cdot(-0,25) - tfrac14cdot6,1875r) approx -7,317708
Logo
x^(2) approx l(-0,25,;6,1875,;-7,317708r)^top

Passo 8

A solução exata é a segunda coluna de A^-1, isto é
x^* =(-36,;192,;-180)^top.
A norma ell1 de x^* é
| x^*|1 = 36 + 192 + 180 = 408
O erro relativo em ell1 é
e^(k) = | x^(k) - x^*|1| x^*|1
1. Para k=1:
| x^(1) - x^*|1 = 36 + 189 + 176,25 = 401,25,
e^(1) = 401,25408approx 0,9838
2. Para k=2:
| x^(2) - x^*|1 approx 35,75 + 185,8125 + 172,6823 = 394,2448,
e^(2) = 394,2448408approx 0,9660

Resposta

(a) A primeira coluna de A^-1 é
l(9,,-36,,30r)^top.
(b) O método de Jacobi não converge (falta de dominância diagonal), mas o Gauss–Seidel converge. As duas primeiras iterações são
x^(1) = l(0,;3,;-3,75r)^top, e^(1)approx 0,9838;
x^(2) approx l(-0,25,;6,1875,;-7,317708r)^top, e^(2)approx 0,9660

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