Questão 4) Seja uma matriz de ordem 3 em que . Pede-se:
a) ( 1,0 pontos) Determine a primeira coluna de pelo método de eliminação de Gauss com pivotamento parcial;
b) ( 1,0 pontos) Verifique que não é possível determinar a segunda coluna de pelo método iterativo de JacobiRichardson, mas que é possível determiná-la pelo método de Gauss-Seidel (GS). Faça 2 iterações do método GS . Avalie o erro relativo nas duas iterações feitas usando a norma .
Passo 1
O enunciado trata da matriz de Hilbert de ordem
e pede:
– (a) a primeira coluna de usando eliminação de Gauss com pivoteamento parcial;
– (b) mostrar que o método de Jacobi não converge para a segunda coluna de , mas que o Gauss–Seidel (GS) converge, executando duas iterações de GS com e avaliando o erro relativo nas normas .
Passo 2
Formamos o sistema aumentado e aplicamos eliminação de Gauss com pivoteamento parcial. . Sistema inicial:
. Primeiro pivô é , não há troca. Eliminamos abaixo:
– Linha \leftarrow Linha - ,Linha
– Linha \leftarrow Linha - ,Linha
obtendo
. Para o segundo pivô comparamos os elementos (linhas e ); não há troca. Eliminamos o elemento da linha :
– Linha \leftarrow Linha - Linha
Passo 3
Fazemos a substituição regressiva no sistema triangular superior: . Da terceira equação:
. Da segunda equação:
. Da primeira equação:
Passo 4
Concluímos que a primeira coluna de é
Passo 5
Para a segunda coluna de A^-1 resolvemos A x= e2. Observa-se que A não é estritamente diagonalmente dominante, logo o método de Jacobi não converge. Como A é simétrica definida-positiva, o método de Gauss–Seidel converge.